ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.106 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

1) Какие числа могут быть взаимно простыми: а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?
2) Какие числа всегда взаимно простые: а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?

1) а) Не могут. Два чётных числа имеют общий делитель 2, поэтому их наибольший общий делитель (НОД) не может быть равен 1.
б) Могут. Например, 2 и 3 взаимно просты.
в) Могут. Например, 3 и 5 взаимно просты.
г) Могут. Например, 3 (простое) и 4 (составное) взаимно просты.
д) Могут. Два последовательных натуральных числа всегда взаимно просты, так как их НОД равен 1.

Ответ: а) не могут; б) могут; в) могут; г) могут; д) могут.

2) а) Никогда. Два чётных числа всегда имеют общий делитель 2.
б) Не всегда. Например, 2 и 4 не взаимно просты.
в) Всегда. Два простых числа могут иметь общий делитель только если они совпадают, в противном случае их НОД равен 1.
г) Не всегда. Например, 2 (простое) и 6 (составное) не взаимно просты, их НОД равен 2.
д) Всегда. Два последовательных натуральных числа всегда взаимно просты.

Ответ: а) никогда; б) не всегда; в) всегда; г) не всегда; д) всегда.

1) а) Два чётных числа не могут быть взаимно простыми, потому что любое чётное число делится на 2. Следовательно, два чётных числа всегда имеют общий делитель, который как минимум равен 2. По определению, два числа взаимно просты, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Так как НОД двух чётных чисел всегда больше 1, они не могут быть взаимно простыми.

б) Чётное и нечётное числа могут быть взаимно простыми. Взаимная простота зависит от отсутствия общих делителей, кроме 1. Например, числа 2 (чётное) и 3 (нечётное) являются взаимно простыми, так как их НОД равен 1. Другой пример: 4 (чётное) и 7 (нечётное) также взаимно просты. Однако, если нечётное число имеет общий делитель с чётным числом, кроме 1, то они не будут взаимно простыми. Например, 6 (чётное) и 9 (нечётное) не являются взаимно простыми, так как их НОД равен 3.

в) Два простых числа могут быть взаимно простыми. По определению, простое число имеет только два делителя: 1 и само себя. Если два простых числа различны, то их единственными делителями являются они сами и 1. Следовательно, их единственным общим делителем будет 1, что означает, что они взаимно просты. Например, 5 и 7 — простые числа, и их НОД равен 1. Единственный случай, когда два простых числа не являются взаимно простыми, это если они совпадают (например, 3 и 3), тогда их НОД равен самому числу (3).

г) Простое и составное числа могут быть взаимно простыми. Составное число имеет более двух делителей. Взаимная простота зависит от того, есть ли у простого и составного чисел общие делители, кроме 1. Например, 3 (простое) и 4 (составное) взаимно просты, так как делители 3 — это 1 и 3, а делители 4 — это 1, 2, 4. Единственный общий делитель — 1. Другой пример: 5 (простое) и 10 (составное) не являются взаимно простыми, так как их НОД равен 5.

д) Два последовательных натуральных числа всегда взаимно просты. Пусть два последовательных натуральных числа будут \(n\) и \(n+1\). Предположим, что у них есть общий делитель \(d > 1\). Тогда \(d\) делит \(n\) и \(d\) делит \(n+1\). Если \(d\) делит оба числа, то он должен делить и их разность: \((n+1) — n = 1\). Однако, никакое число \(d > 1\) не может делить 1. Следовательно, единственным общим делителем последовательных натуральных чисел является 1, что означает, что они всегда взаимно просты.

Ответ: а) не могут; б) могут; в) могут; г) могут; д) могут.

2) а) Два чётных числа никогда не могут быть взаимно простыми. Как было объяснено выше, любое два чётных числа имеют общий делитель 2, поэтому их НОД всегда больше 1.

б) Чётное и нечётное числа не всегда взаимно просты. Они могут быть взаимно простыми, как в случае с 2 и 3, но могут и не быть, если имеют общий делитель, отличный от 1. Например, 6 (чётное) и 15 (нечётное) имеют общий делитель 3, поэтому они не взаимно просты.

в) Два простых числа всегда взаимно просты, если они различны. Если два простых числа совпадают, то их НОД равен самому числу, и они не взаимно просты (если это число не 1, но 1 не является простым числом). Однако, в контексте вопроса, если подразумеваются два разных простых числа, то они всегда взаимно просты.

г) Простое и составное числа не всегда взаимно просты. Они могут быть взаимно простыми (например, 3 и 4), но могут и не быть, если составное число кратно простому числу. Например, 5 (простое) и 20 (составное) не взаимно просты, так как их НОД равен 5.

д) Два последовательных натуральных числа всегда взаимно просты. Это фундаментальное свойство натуральных чисел, основанное на том, что их разность равна 1, и единственным делителем 1 является 1.

Ответ: а) никогда; б) не всегда; в) всегда; г) не всегда; д) всегда.