ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.104 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Дроби \(\frac{l}{20}\) и \(\frac{c}{30}\), где \(l\) и \(c\) — натуральные числа, можно представить в виде десятичных. Могут ли числитель и знаменатель каждой из этих дробей быть взаимно простыми?

Для обыкновенной несократимой дроби, чтобы она представилась в виде десятичной, знаменатель должен содержать только простые множители 2 и 5.

Дробь \(\frac{l}{20}\): Знаменатель \(20 = 2^2 \cdot 5\). Так как множители только 2 и 5, любая дробь вида \(\frac{l}{20}\) может быть представлена в виде десятичной. Числитель и знаменатель могут быть взаимно простыми. Например, \(\frac{3}{20}\).

Дробь \(\frac{c}{30}\): Знаменатель \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\). Так как в знаменателе есть множитель 3, дробь \(\frac{c}{30}\) может быть представлена в виде десятичной только если \(c\) кратно 3. Если \(c\) кратно 3, то наибольший общий делитель \(НОД(c, 30)\) не равен 1, следовательно, числитель и знаменатель не являются взаимно простыми. Если \(c\) не кратно 3, то дробь не представима в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: Для дроби \(\frac{l}{20}\) — да, могут быть взаимно простыми. Для дроби \(\frac{c}{30}\) — нет, не могут быть взаимно простыми.

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда разложение ее знаменателя в натуральном виде содержит только простые множители 2 и 5. Это фундаментальное условие, которое определяет возможность такого преобразования. Если знаменатель содержит другие простые множители, кроме 2 и 5, то дробь будет иметь бесконечную периодическую десятичную запись.

Рассмотрим первую дробь \(\frac{l}{20}\). Ее знаменатель равен 20. Разложим 20 на простые множители: \(20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5\). Поскольку в разложении знаменателя присутствуют только простые множители 2 и 5, любая дробь вида \(\frac{l}{20}\) может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. Для того чтобы числитель \(l\) и знаменатель 20 были взаимно простыми, \(l\) не должно делиться на 2 и на 5. Например, если \(l=3\), то дробь \(\frac{3}{20}\) является несократимой, так как \(НОД(3, 20) = 1\). Эта дробь представима в виде десятичной: \(\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100} = 0.15\). Таким образом, для дроби \(\frac{l}{20}\) числитель и знаменатель могут быть взаимно простыми.

Теперь рассмотрим вторую дробь \(\frac{c}{30}\). Ее знаменатель равен 30. Разложим 30 на простые множители: \(30 = 2 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 5\). В разложении знаменателя, помимо множителей 2 и 5, присутствует простой множитель 3. Это означает, что дробь \(\frac{c}{30}\) может быть представлена в виде конечной десятичной дроби только в том случае, если числитель \(c\) содержит множитель 3, который может быть сокращен с множителем 3 в знаменателе. Другими словами, \(c\) должно быть кратно 3. Если \(c\) кратно 3, то \(c = 3k\) для некоторого натурального числа \(k\). В этом случае \(НОД(c, 30) = НОД(3k, 2 \cdot 3 \cdot 5)\), который будет делиться на 3, и, следовательно, не будет равен 1. Таким образом, если дробь \(\frac{c}{30}\) представима в виде конечной десятичной дроби, то ее числитель и знаменатель не могут быть взаимно простыми. Если же \(c\) не кратно 3, то дробь \(\frac{c}{30}\) не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби.