ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 1.78 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
а) \(\frac{4}{9} \cdot \frac{63}{64} \cdot \frac{2}{7}\);
б) \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{15}\);
в) \(\left(1 — \frac{1}{3}\right) : \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{4}\right)\).

а) Сократим числители и знаменатели:
\( \frac{4}{9} \cdot \frac{63}{64} \cdot \frac{2}{7} = \frac{4 \cdot 63 \cdot 2}{9 \cdot 64 \cdot 7} \).
Сократим \(63\) и \(9\) на \(9\), получим \(7\) и \(1\),
сократим \(4\) и \(64\) на \(4\), получим \(1\) и \(16\),
сократим \(2\) и \(7\) на \(1\) (нет общего делителя).
Итого: \( \frac{1 \cdot 7 \cdot 2}{1 \cdot 16 \cdot 7} = \frac{14}{112} = \frac{1}{8} \).

б) Возьмём квадрат:
\( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).
Умножаем:
\( \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{15} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 6 \cdot 15} = \frac{35}{360} = \frac{7}{72} \).

в) Вычислим разности:
\(1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\),
\(\frac{1}{3} — \frac{1}{4} = \frac{4}{12} — \frac{3}{12} = \frac{1}{12}\).
Деление:
\(\frac{2}{3} : \frac{1}{12} = \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{1} = \frac{24}{3} = 8\).

1) Рассмотрим выражение \( \frac{4}{9} \cdot \frac{63}{64} \cdot \frac{2}{7} \). Чтобы упростить вычисления, сначала произведём умножение числителей и знаменателей: числитель будет равен \(4 \cdot 63 \cdot 2\), а знаменатель — \(9 \cdot 64 \cdot 7\). Получаем дробь \( \frac{4 \cdot 63 \cdot 2}{9 \cdot 64 \cdot 7} \). Следующий шаг — сократить общие множители между числителем и знаменателем. Например, \(63\) и \(9\) имеют общий делитель \(9\), поэтому \(63 : 9 = 7\), а \(9 : 9 = 1\). Аналогично, можно сократить \(4\) и \(64\) на \(4\), получив \(1\) и \(16\) соответственно. Числитель теперь \(1 \cdot 7 \cdot 2\), а знаменатель \(1 \cdot 16 \cdot 7\). Наконец, сокращаем \(7\) в числителе и знаменателе, остаётся \( \frac{2}{16} \), что равно \( \frac{1}{8} \).

2) Во втором выражении \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{15} \) сначала возьмём квадрат дроби \( \frac{1}{2} \). Возведение в квадрат означает умножение дроби на саму себя, то есть \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \). Теперь умножим полученную дробь на остальные: \( \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{15} \). Сложим числители: \(1 \cdot 5 \cdot 7 = 35\), и знаменатели: \(4 \cdot 6 \cdot 15 = 360\). Получаем дробь \( \frac{35}{360} \). Чтобы упростить, найдём общий делитель числителя и знаменателя. Числитель и знаменатель делятся на \(5\), что даёт \( \frac{7}{72} \).

3) В третьем выражении \( \left(1 — \frac{1}{3}\right) : \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{4}\right) \) сначала вычислим каждую скобку отдельно. В первой скобке \(1 — \frac{1}{3}\) — это вычитание дроби из целого числа. Приведём 1 к дроби с тем же знаменателем, что и у \(\frac{1}{3}\), то есть \( \frac{3}{3} \). Тогда \( \frac{3}{3} — \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \). Во второй скобке \( \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \) нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 4 — 12. Перепишем дроби: \( \frac{4}{12} — \frac{3}{12} = \frac{1}{12} \). Теперь делим первую дробь на вторую: \( \frac{2}{3} : \frac{1}{12} \). Деление дробей эквивалентно умножению первой дроби на обратную вторую, то есть \( \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{1} = \frac{24}{3} \). Наконец, сократим \(24\) и \(3\) на \(3\), получим \(8\).