ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 1.194 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите пересечение и объединение множеств \(M\) и \(N\), если \(M\) — множество всех степеней числа 2 с показателем от 1 до 10, \(N\) — множество всех степеней числа 4 с показателем от 1 до 5.

Множества: \(M=\{2^1,2^2,\dots,2^{10}\}=\{2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024\}\); \(N=\{4^1,4^2,4^3,4^4,4^5\}=\{4,16,64,256,1024\}\).

Пересечение: элементы \(N\) — это степени двойки с чётными показателями, они все входят в \(M\), значит \(M\cap N=N=\{4,16,64,256,1024\}\).

Объединение: поскольку \(N\subset M\), то \(M\cup N=M=\{2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024\}\).

1) Построим множества явно. По условию \(M\) содержит все степени числа 2 с показателями от 1 до 10: \(2^1=2\), \(2^2=4\), \(2^3=8\), \(2^4=16\), \(2^5=32\), \(2^6=64\), \(2^7=128\), \(2^8=256\), \(2^9=512\), \(2^{10}=1024\). Следовательно, \(M=\{2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024\}\). Множество \(N\) содержит все степени числа 4 с показателями от 1 до 5: \(4^1=4\), \(4^2=16\), \(4^3=64\), \(4^4=256\), \(4^5=1024\). Значит, \(N=\{4,16,64,256,1024\}\).

2) Заметим связь степеней: каждая степень четверки есть степень двойки с чётным показателем, так как \(4=2^2\), поэтому \(4^k=(2^2)^k=2^{2k}\). При \(k=1,2,3,4,5\) получаем соответственно показатели \(2,4,6,8,10\), все они входят в допустимый диапазон показателей множества \(M\) от 1 до 10. Отсюда каждый элемент \(N\) уже содержится в \(M\), то есть \(N\subset M\). Следовательно, пересечение всех элементов, общих для обоих множеств, совпадает именно с \(N\): \(M\cap N=N=\{4,16,64,256,1024\}\).

3) Объединение множеств при включении одного в другое равно большему множеству. Так как \(N\subset M\), добавление элементов \(N\) к \(M\) не даёт новых элементов, поэтому \(M\cup N=M\). Итоговые ответы: \(M\cap N=\{4,16,64,256,1024\}\); \(M\cup N=\{2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024\}\).