ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 1.193 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите пересечение и объединение множеств \(X\) и \(Y\), если \(X\) — множество всех натуральных чисел, на которые число 24 делится без остатка, а \(Y\) — множество всех натуральных чисел, на которые число 18 делится без остатка.

Составим множества делителей.

\(X=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\), так как это все натуральные делители 24.
\(Y=\{1,2,3,6,9,18\}\), так как это все натуральные делители 18.

Пересечение — элементы, общие для обоих множеств:
\(X\cap Y=\{1,2,3,6\}\).

Объединение — все элементы, входящие хотя бы в одно из множеств:
\(X\cup Y=\{1,2,3,4,6,8,9,12,18,24\}\).

1) Сначала выпишем все натуральные делители заданных чисел, последовательно перебирая их по возрастанию. Для 24 проверяем деление на натуральные числа от 1 до 24 и оставляем те, что дают нулевой остаток. Получаем \(1,2,3,4,6,8,12,24\), то есть \(X=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\). Убедимся кратко: \(24=1\cdot24\), \(24=2\cdot12\), \(24=3\cdot8\), \(24=4\cdot6\); других разложений на натуральные множители без остатка нет, значит список полон. Аналогично для 18: проверяем натуральные числа от 1 до 18. Делят без остатка \(1,2,3,6,9,18\), следовательно \(Y=\{1,2,3,6,9,18\}\). Проверка: \(18=1\cdot18\), \(18=2\cdot9\), \(18=3\cdot6\), остальные кандидаты дают ненулевой остаток.

2) Пересечение множеств — это множество тех элементов, которые одновременно принадлежат и \(X\), и \(Y\). Сопоставим элементы: из \(X\) берём по порядку и проверяем наличие в \(Y\). Совпадают \(1\) (есть в обоих), \(2\) (есть в обоих), \(3\) (есть в обоих), \(4\) (в \(Y\) отсутствует), \(6\) (есть в обоих), \(8\) (в \(Y\) отсутствует), \(12\) (в \(Y\) отсутствует), \(24\) (в \(Y\) отсутствует). Значит все общие элементы перечислены: \(X\cap Y=\{1,2,3,6\}\). Интуитивно это объясняется тем, что общие делители чисел 24 и 18 — это делители их наибольшего общего делителя. Действительно, \(\gcd(24,18)=6\), и множество делителей числа 6 равно \(\{1,2,3,6\}\), что полностью совпадает с найденным пересечением.

3) Объединение множеств — это множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств \(X\) или \(Y\). Для построения объединения берём все элементы \(X\) и добавляем к ним те элементы \(Y\), которых ещё нет в \(X\), избегая повторов. Начинаем с \(X=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\) и смотрим на \(Y\): элементы \(1,2,3,6\) уже учтены; отсутствующие добавляем — это \(9\) и \(18\). В итоге получаем \(X\cup Y=\{1,2,3,4,6,8,9,12,18,24\}\). Заметим, что объединение содержит все делители каждого числа из пары, поэтому закономерно, что оно больше каждого исходного множества по мощности, а пересечение, напротив, не больше любого из них и включает только общие делители. Таким образом окончательные ответы полностью согласуются с проверкой по \(\gcd\) и с определениями пересечения и объединения множеств.