ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 1.192 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите пересечение множеств \(A\) и \(C\), если \(A\) — множество всех натуральных чисел от 1 до 30, которые при делении на 3 дают остаток 1, а \(C\) — множество всех натуральных чисел до 30, которые делятся на 4 без остатка.

Составим множества: \(A=\{1\le n\le 30\mid n\equiv1\pmod{3}\}=\{1,4,7,10,13,16,19,22,25,28\}\).

Множество \(C=\{n\le 30\mid 4\mid n\}=\{4,8,12,16,20,24,28\}\).

Пересечение содержит элементы, принадлежащие обоим множествам: \(A\cap C=\{4,16,28\}\).

1) Построим множество \(A\). Остаток \(1\) при делении на \(3\) имеют числа вида \(n=3k+1\). Ограничение \(1\le n\le 30\) даёт \(3k+1\le 30\Rightarrow k\le 9\) и \(k\ge 0\). Перебирая целые \(k=0,1,\dots,9\), получаем последовательность \(n=\{1,4,7,10,13,16,19,22,25,28\}\). Это и есть \(A=\{1,4,7,10,13,16,19,22,25,28\}\). Заметим, что шаг между соседними элементами равен \(3\), что согласуется с формулой \(3k+1\).

2) Построим множество \(C\). Числа, делящиеся на \(4\) без остатка, имеют вид \(n=4m\). С учётом \(n\le 30\) имеем \(4m\le 30\Rightarrow m\le 7\) и \(m\ge 1\) для натуральных \(n\). Подставляя \(m=1,2,\dots,7\), получаем \(C=\{4,8,12,16,20,24,28\}\). Здесь шаг между соседними элементами равен \(4\), что соответствует кратности \(4\).

3) Найдём пересечение \(A\cap C\), то есть числа, которые одновременно имеют вид \(3k+1\) и кратны \(4\). С практической точки зрения выпишем общие элементы из перечисленных множеств: сравнивая \(A=\{1,4,7,10,13,16,19,22,25,28\}\) и \(C=\{4,8,12,16,20,24,28\}\), видим, что совпадают \(4\), \(16\) и \(28\). Проверка по формулам: \(4=3\cdot1+1\) и \(4\cdot1\), \(16=3\cdot5+1\) и \(4\cdot4\), \(28=3\cdot9+1\) и \(4\cdot7\). Следовательно, \(A\cap C=\{4,16,28\}\).