ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 1.172 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

 Составьте множество \(A\) всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 20, и множество \(B\) всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 30. Найдите пересечение и объединение множеств \(A\) и \(B\).

Составим множества делителей. Для 20: \(A=\{1,2,4,5,10,20\}\). Для 30: \(B=\{1,2,3,5,6,10,15,30\}\).

Пересечение — общие элементы обоих множеств: \(A\cap B=\{1,2,5,10\}\).

Объединение — все элементы, встречающиеся хотя бы в одном множестве: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,10,15,20,30\}\).

1) Определим множество \(A\) всех натуральных делителей числа 20. Разложим 20 на простые множители: \(20=2^{2}\cdot 5^{1}\). Любой делитель числа 20 имеет вид \(2^{\alpha}\cdot 5^{\beta}\), где \(\alpha\in\{0,1,2\}\), \(\beta\in\{0,1\}\). Перебирая пары \((\alpha,\beta)\), получаем делители: \(1=2^{0}\cdot 5^{0}\), \(2=2^{1}\cdot 5^{0}\), \(4=2^{2}\cdot 5^{0}\), \(5=2^{0}\cdot 5^{1}\), \(10=2^{1}\cdot 5^{1}\), \(20=2^{2}\cdot 5^{1}\). Значит, \(A=\{1,2,4,5,10,20\}\).

2) Определим множество \(B\) всех натуральных делителей числа 30. Разложим 30 на простые множители: \(30=2^{1}\cdot 3^{1}\cdot 5^{1}\). Любой делитель числа 30 имеет вид \(2^{\alpha}\cdot 3^{\beta}\cdot 5^{\gamma}\), где \(\alpha,\beta,\gamma\in\{0,1\}\). Перебор даёт: \(1,2,3,5,6=2\cdot 3,10=2\cdot 5,15=3\cdot 5,30=2\cdot 3\cdot 5\). Следовательно, \(B=\{1,2,3,5,6,10,15,30\}\).

3) Пересечение множеств — это элементы, которые принадлежат одновременно обоим множествам. Сравним \(A\) и \(B\): общими являются \(1,2,5,10\). Поэтому \(A\cap B=\{1,2,5,10\}\). Объединение множеств содержит все элементы, встречающиеся хотя бы в одном из них, без повторов. Объединяя списки из \(A\) и \(B\), получаем: \(1,2,3,4,5,6,10,15,20,30\). Следовательно, \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,10,15,20,30\}\).