ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 1.171 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Запишите множество всех натуральных чисел, на которые делится число:  

а) 6;  

б) 12;  

в) 15;  

г) 2.

а) Перебираем делители числа \(6\): проверяем числа \(1,2,3,6\) и убеждаемся, что \(6:1,6:2,6:3,6:6\) дают целые результаты. Ответ: \(\{1,2,3,6\}\).

б) Для \(12\) проверяем натуральные числа до \(12\): делят без остатка \(1,2,3,4,6,12\). Ответ: \(\{1,2,3,4,6,12\}\).

в) Число \(15\) имеет разложение \(15=3\cdot5\), значит его делители: \(1,3,5,15\). Ответ: \(\{1,3,5,15\}\).

г) Для простого числа \(2\) делители только \(1\) и \(2\). Ответ: \(\{1,2\}\).

а) Для числа \(6\) выпишем все натуральные числа от \(1\) до \(6\) и проверим деление без остатка. Проверяем: \(6:1=6\) — деление целое, значит \(1\) подходит; \(6:2=3\) — остатка нет, \(2\) подходит; \(6:3=2\) — остатка нет, \(3\) подходит; \(6:4\) даёт нецелое число, не подходит; \(6:5\) нецелое, не подходит; \(6:6=1\) — подходит. Заметим связь с разложением на простые множители: \(6=2\cdot3\). Все делители образуются произведениями множителей \(2\) и \(3\) в степенях \(0\) или \(1\): \(2^{0}3^{0}=1\), \(2^{1}3^{0}=2\), \(2^{0}3^{1}=3\), \(2^{1}3^{1}=6\). Ответ: \(\{1,2,3,6\}\).

б) Для числа \(12\) последовательно проверим делимость. \(12:1=12\) — подходит; \(12:2=6\) — подходит; \(12:3=4\) — подходит; \(12:4=3\) — подходит; \(12:5\) нецелое — не подходит; \(12:6=2\) — подходит; числа больше \(6\) до \(12\) симметричны уже найденным парам, далее лишь \(12:12=1\) — подходит. Удобно опираться на разложение \(12=2^{2}\cdot3^{1}\). Тогда делители получаются как произведения \(2^{\alpha}3^{\beta}\), где \(\alpha\in\{0,1,2\}\), \(\beta\in\{0,1\}\): это \(1,2,4,3,6,12\). Упорядочив по возрастанию, получаем множество делителей: \(\{1,2,3,4,6,12\}\).

в) Для числа \(15\) используем простую факторизацию \(15=3\cdot5\). Перебор показывает: \(15:1=15\) — подходит; \(15:2\) нецелое — не подходит; \(15:3=5\) — подходит; \(15:4\) нецелое — не подходит; \(15:5=3\) — подходит; \(15:6,7,8,9,10,11,12,13,14\) не делят без остатка; \(15:15=1\) — подходит. Через множители видно, что возможные произведения степеней \(3^{\alpha}5^{\beta}\) при \(\alpha,\beta\in\{0,1\}\) дают \(1,3,5,15\). Ответ: \(\{1,3,5,15\}\).

г) Число \(2\) является простым, то есть имеет ровно два натуральных делителя: единицу и само число. Проверка проста: \(2:1=2\) — подходит; \(2:2=1\) — подходит; любые \(n\) с \(3\le n<2\) отсутствуют, а для \(n>2\) деление даёт дробный результат. В терминах факторизации \(2=2^{1}\), и допустимые степени для делителей — \(2^{0}=1\) и \(2^{1}=2\). Следовательно, множество делителей: \(\{1,2\}\).