ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 1.167 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

а) Без повторений и без нуля: перестановки цифр \(2,4,7\). Числа: \(\{247;274;427;472;724;742\}\).

б) Разрешены повторы из цифр \(0,5,9\), первая цифра не ноль. Перебор по сотням:
— сотни \(5\): десятки и единицы из \(\{0,5,9\}\) — \(\{500;505;509;550;555;559;590;595;599\}\);
— сотни \(9\): \(\{900;905;909;950;955;959;990;995;999\}\).

а) Требуется выписать все трёхзначные числа, составленные из цифр \(2,4,7\) без повторений. Это означает, что мы берём все перестановки трёх различных цифр. Общее их число равно \(3!=6\), поэтому ожидаем ровно шесть чисел. Строим по разрядам сотен: если в сотнях \(2\), то десятки и единицы — перестановки оставшихся \(4\) и \(7\): получаем \(247\) и \(274\). Если в сотнях \(4\), то из оставшихся \(2\) и \(7\) получаем \(427\) и \(472\). Если в сотнях \(7\), то из \(2\) и \(4\) получаем \(724\) и \(742\). Иных вариантов нет, так как каждая цифра используется ровно один раз.

Итоговое множество: \(\{247;274;427;472;724;742\}\). Проверка полноты: каждая из трёх цифр занимает каждое из трёх мест ровно по \(2\) раза, что согласуется с симметрией перестановок, а количество элементов множества равно \(6\), как и вычисленное \(3!\). Проверка корректности: все записи трёхзначные, ведущего нуля нет по условию, повторов цифр внутри числа нет.

б) Теперь разрешены повторы, но цифры только из \(\{0,5,9\}\), при этом трёхзначное число не может начинаться с нуля. Следовательно, в разряде сотен возможны только цифры \(5\) или \(9\) — то есть \(2\) варианта. Для каждого фиксированного разряда сотен разряды десятков и единиц можно выбирать независимо из трёх цифр \(\{0,5,9\}\), что даёт по \(3\cdot 3=9\) чисел на каждую сотню. Итого общее количество равно \(2\cdot 9=18\), поэтому перечислим системно.

Если сотни \(5\), то десятки и единицы — все пары из \(\{0,5,9\}\): получаем \(\{500;505;509;550;555;559;590;595;599\}\). Если сотни \(9\), аналогично получаем \(\{900;905;909;950;955;959;990;995;999\}\). Объединяя, приходим к полному множеству: \(\{500;505;509;550;555;559;590;595;599;900;905;909;950;955;959;\)
\(990;995;999\}\). Проверка: элементов \(18\), все записи трёхзначные, ведущего нуля нет, допускаемые цифры используются корректно.

а) \(\{40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50\}\). Поскольку требуются все двузначные числа от 40 до 50 включительно, берём целые \(n\), удовлетворяющие условию \(40\le n\le 50\). Это равномерная последовательность с шагом 1: первый элемент \(40\), последний \(50\), поэтому перечисляем последовательно каждое целое число между ними без пропусков. Проверка включительности границ: число 40 двузначное, число 50 тоже двузначное, оба подходят. Таким образом, множество составлено полным перебором всех \(n\) с шагом 1 на отрезке \( [40;50] \) в обычной записи, что и даёт указанный перечень.

б) \(\{18,27,36,45,54,63,72,81,90,99\}\). Двузначные числа, кратные 9, имеют вид \(n=9k\). Для сохранения двузначности необходимо \(10\le 9k\le 99\), откуда \( \frac{10}{9}\le k\le \frac{99}{9}=11 \). Поскольку \(k\) целое, получаем \(k=2,3,\dots,11\). Подставляя эти значения, получаем последовательность: при \(k=2\) имеем \(18\), далее \(27,36,45,54,63,72,81,90\), и при \(k=11\) получаем \(99\). Все полученные числа лежат в диапазоне двузначных и делятся на 9 без остатка по определению кратности, то есть \(n\mod 9=0\) для каждого элемента множества.

в) \(\{11,22,33,44,55,66,77,88,99\}\). Требуется, чтобы десятичная запись состояла из двух одинаковых цифр. Обозначим эту цифру через \(a\), где \(a\in\{1,2,\dots,9\}\) (ноль исключается, так как \(00\) не является двузначным числом). Тогда число имеет вид \(10a+a=11a\). При \(a=1,2,\dots,9\) получаем девять двузначных значений: \(11,22,33,44,55,66,77,88,99\). Каждое из них удовлетворяет требованию «две одинаковые цифры», так как и десятки, и единицы равны \(a\). Других вариантов нет: если цифры разные, условие нарушается, а если \(a=0\), получается не двузначное число.

г) \(\{12,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,32,42,52,62,72,82,92\}\). В запись двузначного числа должна входить цифра 2 хотя бы в одной позиции. Переберём два случая. 1) Цифра 2 стоит в разряде десятков: числа вида \(20+u\), где \(u\in\{0,1,3,4,5,6,7,8,9\}\) (значение \(u=2\) также допустимо и даёт число 22, учитываем его отдельно). Это даёт \(20,21,23,24,25,26,27,28,29\) и центральный элемент \(22\). 2) Цифра 2 стоит в разряде единиц: числа вида \(10t+2\), где \(t\in\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\) (исключаем \(t=2\), так как \(22\) уже записано, и \(t=0\), так как \(02\) не двузначное). Это даёт \(12,32,42,52,62,72,82,92\). Объединяя без повторений оба случая, получаем полный перечень всех и только тех двузначных чисел, в записи которых встречается цифра 2.