ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 1.166 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Запишите числовое множество, состоящее из всех двузначных чисел:  

а) от 40 до 50 включительно;  

б) которые делятся на 9 без остатка;  

в) запись которых состоит из двух одинаковых цифр;  

г) в запись которых входит цифра 2.

а) От 40 до 50 включительно: \(\{40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50\}\).
Пояснение: берём все числа \(n\) такие, что \(40\le n\le 50\).

б) Делятся на 9: \(\{18,27,36,45,54,63,72,81,90,99\}\).
Пояснение: двузначные кратные 9, то есть \(n=9k\) при \(k=2,\dots,11\).

в) Две одинаковые цифры: \(\{11,22,33,44,55,66,77,88,99\}\).
Пояснение: числа вида \(aa\), то есть \(11\cdot a\) при \(a=1,\dots,9\).

г) Содержат цифру 2: \(\{12,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,32,42,52,62,72,82,92\}\).
Пояснение: перебираем десятки и единицы, где хотя бы одна цифра равна 2.

а) \(\{40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50\}\). Поскольку требуются все двузначные числа от 40 до 50 включительно, берём целые \(n\), удовлетворяющие условию \(40\le n\le 50\). Это равномерная последовательность с шагом 1: первый элемент \(40\), последний \(50\), поэтому перечисляем последовательно каждое целое число между ними без пропусков. Проверка включительности границ: число 40 двузначное, число 50 тоже двузначное, оба подходят. Таким образом, множество составлено полным перебором всех \(n\) с шагом 1 на отрезке \( [40;50] \) в обычной записи, что и даёт указанный перечень.

б) \(\{18,27,36,45,54,63,72,81,90,99\}\). Двузначные числа, кратные 9, имеют вид \(n=9k\). Для сохранения двузначности необходимо \(10\le 9k\le 99\), откуда \( \frac{10}{9}\le k\le \frac{99}{9}=11 \). Поскольку \(k\) целое, получаем \(k=2,3,\dots,11\). Подставляя эти значения, получаем последовательность: при \(k=2\) имеем \(18\), далее \(27,36,45,54,63,72,81,90\), и при \(k=11\) получаем \(99\). Все полученные числа лежат в диапазоне двузначных и делятся на 9 без остатка по определению кратности, то есть \(n\mod 9=0\) для каждого элемента множества.

в) \(\{11,22,33,44,55,66,77,88,99\}\). Требуется, чтобы десятичная запись состояла из двух одинаковых цифр. Обозначим эту цифру через \(a\), где \(a\in\{1,2,\dots,9\}\) (ноль исключается, так как \(00\) не является двузначным числом). Тогда число имеет вид \(10a+a=11a\). При \(a=1,2,\dots,9\) получаем девять двузначных значений: \(11,22,33,44,55,66,77,88,99\). Каждое из них удовлетворяет требованию «две одинаковые цифры», так как и десятки, и единицы равны \(a\). Других вариантов нет: если цифры разные, условие нарушается, а если \(a=0\), получается не двузначное число.

г) \(\{12,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,32,42,52,62,72,82,92\}\). В запись двузначного числа должна входить цифра 2 хотя бы в одной позиции. Переберём два случая. 1) Цифра 2 стоит в разряде десятков: числа вида \(20+u\), где \(u\in\{0,1,3,4,5,6,7,8,9\}\) (значение \(u=2\) также допустимо и даёт число 22, учитываем его отдельно). Это даёт \(20,21,23,24,25,26,27,28,29\) и центральный элемент \(22\). 2) Цифра 2 стоит в разряде единиц: числа вида \(10t+2\), где \(t\in\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\) (исключаем \(t=2\), так как \(22\) уже записано, и \(t=0\), так как \(02\) не двузначное). Это даёт \(12,32,42,52,62,72,82,92\). Объединяя без повторений оба случая, получаем полный перечень всех и только тех двузначных чисел, в записи которых встречается цифра 2.