ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 1.161 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

 В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) в \(2\) раза больше угла \(B\) и на \(20^\circ\) меньше угла \(C\). Найдите углы треугольника \(ABC\).

Пусть \(\angle B=x^\circ\). Тогда по условию \(\angle A=2x^\circ\), а так как \(\angle A\) на \(20^\circ\) меньше \(\angle C\), то \(\angle C=2x+20^\circ\).

По сумме углов треугольника: \(x+2x+(2x+20)=180\Rightarrow 5x+20=180\Rightarrow 5x=160\Rightarrow x=32^\circ\).

Следовательно, \(\angle B=32^\circ\), \(\angle A=2\cdot32^\circ=64^\circ\), \(\angle C=2\cdot32^\circ+20^\circ=84^\circ\).

1) Введем переменную для удобства. Пусть \(\angle B=x^\circ\). Тогда по условию, что угол \(A\) в два раза больше угла \(B\), получаем явную зависимость \(\angle A=2x^\circ\). Вторая часть условия говорит, что угол \(A\) на \(20^\circ\) меньше угла \(C\). Это эквивалентно тому, что угол \(C\) на \(20^\circ\) больше угла \(A\). Следовательно, если \(\angle A=2x^\circ\), то \(\angle C=2x^\circ+20^\circ\). На этом этапе мы выразили все три угла треугольника через одну переменную \(x\), что позволит составить уравнение, используя фундаментальное свойство суммы углов треугольника.

2) Напомним ключевой факт планиметрии: сумма внутренних углов любого треугольника равна \(180^\circ\). Подставим выражения для углов через \(x\): \(\angle A+\angle B+\angle C=(2x^\circ)+(x^\circ)+(2x^\circ+20^\circ)=180^\circ\). Упростим левую часть, сгруппировав слагаемые с \(x\) и константы: \(2x^\circ+x^\circ+2x^\circ+20^\circ=180^\circ\), то есть \(5x^\circ+20^\circ=180^\circ\). Перенесем известное слагаемое \(20^\circ\) в правую часть, вычитая его из обеих частей уравнения: \(5x^\circ=180^\circ-20^\circ=160^\circ\). Теперь, чтобы найти неизвестный множитель \(x\), разделим обе части на коэффициент \(5\): \(x^\circ=\frac{160^\circ}{5}=32^\circ\). Это означает, что \(\angle B=32^\circ\).

3) Восстановим оставшиеся углы, подставив найденное значение \(x\) в выражения. Для угла \(A\): \(\angle A=2x^\circ=2\cdot32^\circ=64^\circ\). Для угла \(C\): \(\angle C=2x^\circ+20^\circ=2\cdot32^\circ+20^\circ=64^\circ+20^\circ=84^\circ\). Проверка на соответствие сумме углов треугольника подтверждает корректность решения: \(32^\circ+64^\circ+84^\circ=180^\circ\). Итоговые значения полностью согласуются с исходными связями задачи: угол \(A\) действительно в два раза больше угла \(B\) \((64^\circ=2\cdot32^\circ)\) и на \(20^\circ\) меньше угла \(C\) \((84^\circ-64^\circ=20^\circ)\). Ответ: \(\angle A=64^\circ\), \(\angle B=32^\circ\), \(\angle C=84^\circ\).