ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 1.150 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

 Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:  

а) \(14 \cdot 0{,}76\) и \((14 — 76) : 100\);  

б) \(340 \cdot 0{,}02\) и \((340 — 2) : 10\);  

в) \(0{,}6 \cdot 0{,}2\) и \((6 \cdot 2) : 100\);  

г) \(1{,}234 : 0{,}02\) и \(123{,}4 : 0{,}2\).

а) Переносим запятую в множителе: \(14\cdot0{,}76=(14\cdot76):100\). Следовательно, равны.

б) \(340\cdot0{,}02=(340\cdot2):100=6{,}8\), а \((340-2):10=338:10=33{,}8\). Значит, \(340\cdot0{,}02<(340-2):10\).

в) Аналогично переносу запятой: \(0{,}6\cdot0{,}2=(6\cdot2):100\). Следовательно, равны.

г) Деление на десятичную дробь заменяем умножением: \(1{,}234:0{,}02=1{,}234\cdot50=61{,}7\), \(123{,}4:0{,}2=123{,}4\cdot5=617\). Поэтому \(1{,}234:0{,}02<123{,}4:0{,}2\).

а) Представим десятичную дробь как целое число, поделённое на степень десяти: \(0{,}76=\frac{76}{10^{2}}\). Тогда произведение перепишем как \(14\cdot0{,}76=14\cdot\frac{76}{10^{2}}=\frac{14\cdot76}{10^{2}}=(14\cdot76):100\). Здесь используется правило: умножение на десятичную дробь эквивалентно умножению на соответствующую правильную дробь с знаменателем \(10^{n}\), где \(n\) — число знаков после запятой. Следовательно, выражения тождественно равны, поскольку выполнено строгое преобразование вида «умножение на дробь равно делению произведения на её знаменатель».

б) Сначала преобразуем левое выражение через представление десятичной дроби: \(0{,}02=\frac{2}{10^{2}}\), откуда \(340\cdot0{,}02=340\cdot\frac{2}{10^{2}}=\frac{340\cdot2}{10^{2}}=\frac{680}{100}=6{,}8\). Правое выражение упрощаем по действию в скобках: \((340-2):10=\frac{338}{10}=33{,}8\). Сравнение чисел сводится к сравнению десятичных: \(6{,}8<33{,}8\). Таким образом, \(340\cdot0{,}02<(340-2):10\). Здесь ключевой приём — перевод умножения на десятичную дробь в деление на степень десяти и стандартное деление десятичной дроби на \(10\) путём сдвига запятой на один знак влево.

в) Обе десятичные дроби представляем в виде обыкновенных: \(0{,}6=\frac{6}{10}\) и \(0{,}2=\frac{2}{10}\). Тогда их произведение равно \(0{,}6\cdot0{,}2=\frac{6}{10}\cdot\frac{2}{10}=\frac{6\cdot2}{10^{2}}=\frac{12}{100}\), что эквивалентно записи \( (6\cdot2):100 \). Здесь используется правило умножения дробей и свойство степеней десяти: при умножении десятичных дробей количество знаков после запятой в результате равно сумме знаков после запятой множителей, то есть \(1+1=2\), что согласуется с делением на \(10^{2}\). Следовательно, исходные выражения равны.

г) Деление на десятичную дробь заменяем умножением на её обратную. Поскольку \(0{,}02=\frac{2}{10^{2}}\), имеем \(1{,}234:0{,}02=1{,}234\cdot\frac{10^{2}}{2}=1{,}234\cdot50=61{,}7\). Аналогично, \(0{,}2=\frac{2}{10}\), поэтому \(123{,}4:0{,}2=123{,}4\cdot\frac{10}{2}=123{,}4\cdot5=617\). Сравниваем полученные значения: \(61{,}7<617\), откуда \(1{,}234:0{,}02<123{,}4:0{,}2\). В обоих случаях применён один и тот же принцип: умножение на обратную дробь и сокращение множителей \(2\) в числителе и знаменателе, что эквивалентно умножению исходного числа на \(10^{n}\) и последующему делению на малый целый множитель.