ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 1.149 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

 Может ли выражаться простым числом периметр или площадь прямоугольника, стороны которого выражены натуральными числами?

Периметр: пусть стороны \(a,b\in\mathbb{N}\). Тогда \(P=2(a+b)\). Число \(P\) делится на \(2\) и на \(a+b>1\), значит имеет как минимум делители \(1,2,a+b,P\). Следовательно, \(P\) не может быть простым.

Площадь: \(S=ab\) при \(a,b\in\mathbb{N}\) и \(a,b\ge1\). Если прямоугольник невырожденный (\(a>1\) и \(b>1\)), то \(S\) делится на \(a\) и на \(b\), то есть имеет делителей больше двух, следовательно, не является простым. Единственный частный случай \(a=1\) или \(b=1\): тогда \(S=\) другой множитель, и он может быть простым. Итого: периметр — никогда, площадь — только у прямоугольника со стороной \(1\).

1) Периметр. Пусть стороны прямоугольника равны натуральным числам \(a\) и \(b\). Тогда по определению периметра \(P=2(a+b)\). Число \(P\) явно кратно \(2\), потому что содержит множитель \(2\). Кроме того, если \(a+b>1\), то \(P\) кратно и числу \(a+b\). Следовательно, у \(P\) есть как минимум делители \(1\), \(2\), \(a+b\) и само \(P\). Простейший вывод: у простого числа строго два делителя, \(1\) и оно само, а у \(P\) делителей уже не менее трёх, даже если \(a+b=2\) (тогда \(P=4\) и делители \(1,2,4\)). Значит, при любых натуральных \(a,b\) периметр прямоугольника не может быть простым числом.

2) Площадь в общем случае. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \(S=ab\). Если прямоугольник невырожденный, то есть \(a>1\) и \(b>1\), то каждая из сторон является собственным нетривиальным делителем \(S\). В самом деле, \(a\mid S\) и \(b\mid S\), кроме того, всегда есть делители \(1\) и \(S\). Получаем не менее четырёх делителей: \(1,a,b,S\). Следовательно, при \(a>1\) и \(b>1\) число \(S\) не может быть простым, поскольку у простого числа только два делителя. Это согласуется с тем, что произведение двух натуральных чисел, каждое из которых больше \(1\), всегда составное.

3) Единственный частный случай для площади. Если одна из сторон равна \(1\), например \(a=1\) и \(b=n\in\mathbb{N}\), то площадь \(S=ab=1\cdot n=n\). В этом случае количество делителей \(S\) совпадает с количеством делителей числа \(n\). Следовательно, площадь может оказаться простой, если и только если вторая сторона сама является простым числом: \(n\) простое \(\Rightarrow\) \(S=n\) простое. Аналогично при \(b=1\). Таким образом, площадь прямоугольника бывает простой только для «узкого» прямоугольника со стороной \(1\); во всех остальных натуральных случаях площадь составна.

4) Итог по периметру. Формула \(P=2(a+b)\) показывает двойную кратность: к \(2\) и к \(a+b\). Даже минимальный вариант \(a=b=1\) даёт \(P=2(1+1)=4\), что не является простым. При любых иных натуральных \(a,b\) значение \(P\) ещё больше и продолжает иметь более двух делителей. Следовательно, периметр никогда не выражается простым числом при натуральных сторонах.

5) Итог по площади. Формула \(S=ab\) указывает на составность при \(a,b>1\), потому что \(S\) разлагается на нетривиальные множители \(a\) и \(b\). Единственная возможность получить простое число как площадь — это случай единичной стороны: \(a=1\) или \(b=1\). Тогда \(S\) совпадает со второй стороной и бывает простым ровно тогда, когда эта сторона — простое число. Итак: периметр — никогда, площадь — только у прямоугольника со стороной \(1\) и другой стороной, равной простому числу.