ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 1.139 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Всегда ли равны треугольники, у которых равны периметры?

Нет.

Пояснение: равенство периметров не гарантирует равенство всех сторон и углов. Пример: первый треугольник равносторонний со сторонами \(6,6,6\) (периметр \(18\)). Второй треугольник со сторонами \(5,5,8\) имеет тот же периметр \(18\), но его стороны (и углы) не совпадают с первым, значит треугольники не равны.

1) Нет, треугольники с равными периметрами не обязаны быть равными. Равенство треугольников означает совпадение всех трех сторон и всех трех углов поочередно, то есть соответствующие стороны попарно равны, а соответствующие углы попарно равны. Периметр же учитывает только сумму длин сторон: для любого треугольника \(P=a+b+c\). Следовательно, из условия \(a_{1}+b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}\) не следует, что \(a_{1}=a_{2}\), \(b_{1}=b_{2}\), \(c_{1}=c_{2}\) и что углы совпадают. Одинаковая сумма может быть получена бесконечно многими наборами длин, удовлетворяющих неравенствам треугольника.

2) Конкретный контрпример: первый треугольник равносторонний со сторонами \(6,6,6\), его периметр \(P_{1}=6+6+6=18\). Второй треугольник возьмем неравнобедренный со сторонами \(5,5,8\). Эти длины допустимы, так как выполняются неравенства треугольника: \(5+5>8\), \(5+8>5\), \(5+8>5\). Его периметр \(P_{2}=5+5+8=18\). Получаем \(P_{1}=P_{2}\), но наборы сторон различаются, следовательно, треугольники не равны по сторонам и, тем более, по углам.

3) Дополнительная проверка различия по углам: в равностороннем треугольнике каждый угол равен \(60^{\circ}\). Во втором треугольнике можно, например, применить теорему косинусов к стороне длиной \(8\): \(8^{2}=5^{2}+5^{2}-2\cdot5\cdot5\cdot\cos\gamma\), откуда \(\cos\gamma=\frac{5^{2}+5^{2}-8^{2}}{2\cdot5\cdot5}=\frac{50-64}{50}=-\frac{14}{50}=-\frac{7}{25}\), значит \(\gamma\neq60^{\circ}\). Углы не совпадают, следовательно, треугольники не равны.

4) Обобщение: множество всех треугольников с фиксированным периметром \(P\) бесконечно. Для любого допустимого набора \((a,b)\) третья сторона определяется как \(c=P-a-b\) при условиях \(a>0\), \(b>0\), \(c>0\) и выполнении неравенств \(a+b>c\), \(a+c>b\), \(b+c>a\), что эквивалентно \(a+b>P-a-b\) и симметричным. Это дает целое семейство взаимно неравных треугольников, все с одним и тем же периметром.

5) Итог: равенство периметров выражает лишь равенство сумм длин сторон и не контролирует распределение этих длин и величины углов. Поэтому условие \(P_{1}=P_{2}\) само по себе недостаточно для равенства треугольников; требуется, например, равенство трех сторон \(a_{1}=a_{2}\), \(b_{1}=b_{2}\), \(c_{1}=c_{2}\) или выполнение одного из достаточных признаков равенства (по стороне и двум прилежащим углам, по двум сторонам и углу между ними и т.д.). Контрпример \((6,6,6)\) и \((5,5,8)\) окончательно показывает отрицательный ответ.