ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 1.117 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Внутри прямого угла \(ABC\) проведён луч \(BD\). Чему равны углы \(ABD\) и \(DBC\), если:  

а) угол \(ABD\) в 4 раза меньше угла \(DBC\);  

б) угол \(DBC\) больше угла \(ABD\) на 32°;  

в) угол \(ABD\) в 8 раз больше угла \(DBC\)?

а) Пусть \(\angle ABD = x\), тогда \(\angle DBC = 4x\). Так как \(\angle ABC = 90^\circ\), получаем \(\,x+4x=90^\circ \Rightarrow 5x=90^\circ \Rightarrow x=18^\circ\). Следовательно, \(\angle ABD=18^\circ\), \(\angle DBC=72^\circ\).

б) Пусть \(\angle ABD = x\), тогда \(\angle DBC = x+32^\circ\). Имеем \(\,x+(x+32^\circ)=90^\circ \Rightarrow 2x=58^\circ \Rightarrow x=29^\circ\). Следовательно, \(\angle ABD=29^\circ\), \(\angle DBC=61^\circ\).

в) Пусть \(\angle DBC = x\), тогда \(\angle ABD = 8x\). Имеем \(\,x+8x=90^\circ \Rightarrow 9x=90^\circ \Rightarrow x=10^\circ\). Следовательно, \(\angle ABD=80^\circ\), \(\angle DBC=10^\circ\).

а) Рассматриваем прямой угол \(\angle ABC = 90^\circ\). Внутри него проведён луч \(BD\), который делит \(\angle ABC\) на два смежных угла: \(\angle ABD\) и \(\angle DBC\). По условию первый в четыре раза меньше второго, поэтому вводим переменную: пусть \(\angle ABD = x^\circ\), тогда \(\angle DBC = 4x^\circ\). Так как эти два угла являются частями одного прямого угла, их суммы равны полному углу при вершине \(B\) на стороне \(AB\) и \(BC\): составим уравнение суммы частей одного целого \(\;x^\circ + 4x^\circ = 90^\circ\). Отсюда получаем линейное уравнение \(\;5x^\circ = 90^\circ\), откуда \(\;x = \frac{90}{5} = 18^\circ\). Значит, \(\angle ABD = 18^\circ\), а второй угол в четыре раза больше: \(\angle DBC = 4 \cdot 18^\circ = 72^\circ\). Проверка по сумме подтверждает корректность: \(18^\circ + 72^\circ = 90^\circ\).

б) Снова используем тот же принцип разбиения прямого угла. Пусть \(\angle ABD = x^\circ\). По условию второй угол больше первого на \(32^\circ\), следовательно \(\angle DBC = x^\circ + 32^\circ\). Складываем углы внутри прямого: \(\;x^\circ + (x^\circ + 32^\circ) = 90^\circ\). Приведём подобные слагаемые: \(\;2x^\circ + 32^\circ = 90^\circ\). Переносим константу: \(\;2x^\circ = 90^\circ — 32^\circ = 58^\circ\). Делим обе части на \(2\): \(\;x = \frac{58}{2} = 29^\circ\). Следовательно, \(\angle ABD = 29^\circ\), а второй угол равен \(\angle DBC = 29^\circ + 32^\circ = 61^\circ\). Контрольная сумма: \(29^\circ + 61^\circ = 90^\circ\), что согласуется с прямым углом.

в) По условию теперь первый угол больше второго в \(8\) раз. Удобнее обозначить меньший угол переменной: пусть \(\angle DBC = x^\circ\), тогда \(\angle ABD = 8x^\circ\). Как и прежде, используем сумму углов внутри прямого: \(\;x^\circ + 8x^\circ = 90^\circ\). Получаем \(\;9x^\circ = 90^\circ\), откуда \(\;x = \frac{90}{9} = 10^\circ\). Тогда \(\angle DBC = 10^\circ\), а больший угол \(\angle ABD = 8 \cdot 10^\circ = 80^\circ\). Сумма углов проверяется: \(80^\circ + 10^\circ = 90^\circ\), что подтверждает верность вычислений.