ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 1.110 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Верно ли, что:  

а) угол меньший тупого — острый;  

б) половина тупого угла — острый угол;  

в) угол больший прямого — тупой;  

г) сумма градусных мер острых углов больше 90°?

а) Неверно. Если угол меньше тупого, он может быть как острым, так и прямым: например, \(90^\circ<120^\circ\).

б) Верно. Половина тупого угла \( \alpha\in(90^\circ,180^\circ) \) равна \( \frac{\alpha}{2}\in(45^\circ,90^\circ) \), то есть угол неострый и не тупой, а остро-прямой границы не включает, следовательно меньше \(90^\circ\).

в) Неверно. Угол, больший прямого, может быть как тупым \((120^\circ)\), так и развернутым \((180^\circ)\).

г) Неверно. Сумма острых углов может быть как меньше, так и больше \(90^\circ\): например, \(30^\circ+30^\circ=60^\circ<90^\circ\).

а) Неверно. Формулировка «угол, меньший тупого, — острый» не учитывает случай прямого угла. Тупой угол по определению имеет величину из интервала \( (90^\circ,180^\circ) \). Любой угол, который меньше некоторого тупого, может иметь величину как строго меньше \(90^\circ\) (тогда он острый), так и ровно \(90^\circ\) (тогда он прямой). Пример: возьмём тупой угол \(120^\circ\). Угол \(85^\circ\) действительно острый и меньше \(120^\circ\), но угол \(90^\circ\) тоже меньше \(120^\circ\) и при этом не острый, а прямой. Следовательно, утверждение неверно, так как не исключает прямой угол как контрпример.

б) Верно. Пусть тупой угол имеет меру \(\alpha\), где \(\alpha\in(90^\circ,180^\circ)\). Тогда половина этого угла равна \(\frac{\alpha}{2}\). Делим интервал пополам: из неравенств \(90^\circ<\alpha<180^\circ\) получаем \(45^\circ<\frac{\alpha}{2}<90^\circ\). Следовательно, половина тупого угла всегда больше \(45^\circ\), но строго меньше \(90^\circ\), то есть это всегда острый угол. Примеры: если \(\alpha=100^\circ\), то \(\frac{\alpha}{2}=50^\circ\); если \(\alpha=178^\circ\), то \(\frac{\alpha}{2}=89^\circ\). В обоих случаях результат — острый угол, что подтверждает истинность утверждения.

в) Неверно. «Угол, больший прямого, — тупой» игнорирует возможность развернутого угла. Прямой угол имеет меру \(90^\circ\). Все углы, большие прямого, удовлетворяют неравенству \(\beta>90^\circ\). Среди них действительно есть все тупые углы \((90^\circ,180^\circ)\), но также есть и развернутый угол \(180^\circ\), который не относится к тупым. Контрпример: \(\beta=180^\circ\) больше \(90^\circ\), однако это развернутый угол, а не тупой. Значит, утверждение ложно из‑за наличия хотя бы одного значения \(\beta\), нарушающего вывод.

г) Неверно. Оба острых угла имеют меры из интервала \((0^\circ,90^\circ)\). Их сумма может принимать широкий диапазон значений от сколь угодно малого положительного числа до величин, близких к \(180^\circ\), в зависимости от конкретных углов. Нельзя утверждать, что сумма всегда больше \(90^\circ\): существуют пары острых углов с суммой меньше \(90^\circ\), равной \(90^\circ\) и больше \(90^\circ\). Примеры: \(30^\circ+30^\circ=60^\circ<90^\circ\) — контрпример к формулировке «всегда больше»; \(30^\circ+60^\circ=90^\circ\) — граничный случай; \(50^\circ+50^\circ=100^\circ>90^\circ\) — показывает, что возможна и большая сумма, но не обязательная. Следовательно, универсальное утверждение «сумма острых углов больше \(90^\circ\)» неверно.