ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 1.109 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Углы \(MNK\) и \(KND\) составляют развёрнутый угол. Каким является угол \(MNK\), если угол \(KND\):  

а) острый;  

б) тупой;  

в) прямой?

Известно, что углы смежные: \( \angle MNK + \angle KND = 180^\circ \).

а) Если \( \angle KND\) острый (\(<90^\circ\)), то \( \angle MNK = 180^\circ — \angle KND > 90^\circ\). Следовательно, \( \angle MNK\) тупой.

б) Если \( \angle KND\) тупой (\(>90^\circ\)), то \( \angle MNK = 180^\circ — \angle KND < 90^\circ\). Следовательно, \( \angle MNK\) острый.

в) Если \( \angle KND = 90^\circ\), то \( \angle MNK = 180^\circ — 90^\circ = 90^\circ\). Следовательно, \( \angle MNK\) прямой.

Известно, что углы \( \angle MNK\) и \( \angle KND\) смежные, то есть их стороны образуют развернутую прямую, поэтому сумма равна развернутому углу: \( \angle MNK+\angle KND=180^\circ\). Это базовое свойство смежных углов: если один из них увеличивается, другой автоматически уменьшается так, чтобы сумма оставалась постоянной и равной \(180^\circ\). Отсюда выражаем один угол через другой: \( \angle MNK=180^\circ-\angle KND\). Дальнейшие выводы строятся на сравнении полученной разности с \(90^\circ\) и анализе определений острых, тупых и прямых углов.

а) Если \( \angle KND\) острый, то по определению \(0^\circ<\angle KND<90^\circ\). Подставляя в формулу, получаем \( \angle MNK=180^\circ-\angle KND\). Поскольку вычитаем число, меньшее \(90^\circ\), то разность строго больше \(90^\circ\): \( \angle MNK>180^\circ-90^\circ=90^\circ\). Следовательно, угол \( \angle MNK\) не может быть ни острым, ни прямым и попадает в диапазон \(90^\circ<\angle MNK<180^\circ\), а значит является тупым. Интуитивно: маленький острый угол «оставляет» большой дополнительный угол до \(180^\circ\).

б) Если \( \angle KND\) тупой, то \(90^\circ<\angle KND<180^\circ\). По той же формуле \( \angle MNK=180^\circ-\angle KND\) теперь вычитаем число, большее \(90^\circ\), поэтому получаем \( \angle MNK<180^\circ-90^\circ=90^\circ\). Значит \(0^\circ<\angle MNK<90^\circ\), то есть \( \angle MNK\) острый. Геометрически это означает, что большой тупой угол «оставляет» лишь малую часть до развернутого, поэтому второй угол неизбежно острый.

в) Если \( \angle KND\) прямой, то \( \angle KND=90^\circ\). Тогда по равенству суммы смежных углов сразу имеем \( \angle MNK=180^\circ-90^\circ=90^\circ\). Получаем, что \( \angle MNK\) также прямой. Здесь оба угла симметрично делят развернутый угол пополам, и каждый из них равен \(90^\circ\).