ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Задания для самопроверки Параграф 5 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

1. Напишите, какая часть фигуры, изображённой на рисунке, закрашена.

2. Имеется сумма 35 000 р. Стоимость покупки составляет \(\frac{2}{7}\) имеющейся суммы. Какова стоимость покупки?

3. В магазине было продано 240 кг картофеля, что составило \(\frac{3}{8}\) всего картофеля, имевшегося в наличии. Сколько картофеля было в магазине первоначально?

4. Укажите правильные дроби.
а) \(\frac{8}{8}\); б) \(\frac{11}{9}\); в) \(\frac{2}{3}\); г) \(\frac{4}{7}\).

5. Укажите значения \(a\), при которых дробь \(\frac{7}{a}\) является неправильной.
а) 7; б) 10; в) 1; г) 4; д) 8.

6. Выделите целую часть из неправильной дроби \(\frac{32}{7}\).
а) \(3 \frac{3}{7}\); б) \(4 \frac{3}{7}\); в) \(3 \frac{4}{7}\); г) \(4 \frac{4}{7}\).

7. Установите соответствие между выражением и его значением.
А. \(\frac{4}{9} + \frac{5}{9}\)
Б. \(2 — \frac{4}{9}\)
В. \(1 \frac{5}{9} — \frac{7}{9}\)
Г. \(1 \frac{3}{9} + 1 \frac{8}{9}\)

1) 3
2) \(1 \frac{5}{9}\)
3) 1
4) \(\frac{7}{9}\)

8. Укажите номера верных равенств.
1) \(1 \frac{1}{2} \text{ м} = 150 \text{ см}\);
2) \(1 \frac{1}{2} \text{ км} = 150 \text{ м}\);
3) \(1 \frac{1}{7} \text{ дм} = 14 \text{ см}\);
4) \(1 \frac{1}{2} \text{ км} = 1500 \text{ м}\).

9. В супермаркет привезли \(3 \frac{7}{10}\) т риса, что на \(1 \frac{3}{10}\) т меньше, чем гречки. Сколько тонн гречки привезли в магазин?

10. На склад поступило \(24 \frac{3}{10}\) т груш, а яблок на \(9 \frac{5}{10}\) т меньше. Сколько центнеров фруктов привезли на склад?

1. Закрашена часть фигуры равна \( \frac{11}{15} \).
2. Стоимость покупки:
   \( 35\,000 : 7 \cdot 2 = 5\,000 \cdot 2 = 10\,000 \) (руб).Ответ: 10 000 руб.
3. Первоначально в магазине было: \(240 : 3 \cdot 8 = 80 \cdot 8 = 640\) (кг) – картофеля.Ответ: 640 кг.
4. Из данных дробей правильными являются дроби, у которых числитель меньше знаменателя.в) \( \frac{2}{3} \) — правильная дробь, так как \(2 < 3\).г) \( \frac{4}{7} \) — правильная дробь, так как \(4 < 7\).Ответ: в) и г).
5. \( \frac{7}{a} \) — неправильная дробь при \( a = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\} \).
   Ответ: а) 7; в) 1; г) 4.\( \frac{32}{7} = 4 \frac{4}{7} \)
   Ответ: г) \(4 \frac{4}{7}\).
6. Дано: \( \frac{32}{7} \).Представим это число в виде смешанного числа. Для этого разделим 32 на 7:\( 32 \div 7 = 4 \) (целая часть),остаток \( 32 — 4 \times 7 = 4 \).

   Тогда смешанное число: \( 4 \frac{4}{7} \).

   Ответ: г) \( 4 \frac{4}{7} \).

7. А. \( \frac{4}{9} + \frac{5}{9} = \frac{9}{9} = 1 \Rightarrow 3 \).Б. \( 2 — \frac{4}{9} = \frac{18}{9} — \frac{4}{9} = \frac{14}{9} = 1 \frac{5}{9} \Rightarrow 2 \).В. \( 1 \frac{5}{9} — \frac{7}{9} = \frac{14}{9} — \frac{7}{9} = \frac{7}{9} \Rightarrow 4 \).Г. \( 1 \frac{1}{9} + \frac{8}{9} = \frac{10}{9} + \frac{8}{9} = \frac{18}{9} = 2 \Rightarrow 1 \).

   Ответ: А – 3; Б – 2; В – 4; Г – 1.

8.  1) \(1 \frac{1}{2} \text{ м} = 1 \text{ м} + \frac{1}{2} \text{ м} = 100 \text{ см} + 50 \text{ см} = 150 \text{ см}\) верно;2) \(1 \frac{1}{2} \text{ км} = 1 \text{ км} + \frac{1}{2} \text{ км} = 1000 \text{ м} + 500 \text{ м} = 1500 \text{ м} \neq 150 \text{ м}\) неверно;3) \(1 \frac{1}{5} \text{ дм} = 1 \text{ дм} + \frac{1}{5} \text{ дм} = 10 \text{ см} + 2 \text{ см} = 12 \text{ см} \neq 14 \text{ см}\) неверно;4) \(1 \frac{1}{2} \text{ км} = 1 \text{ км} + \frac{1}{2} \text{ км} = 1500 \text{ м}\) верно.

   Ответ: 1) и 4).

9. Гречки привезли: \(3 \frac{7}{10} + 1 \frac{3}{10} = 4 \frac{10}{10} = 5\) (т).Ответ: 5 т.
10. 1) Яблок привезли на склад:
    \( 24 \frac{3}{10} — 9 \frac{5}{10} = 23 \frac{13}{10} — 9 \frac{5}{10} = 14 \frac{8}{10} \) (т).2) Всего фруктов привезли на склад:
    \( 24 \frac{3}{10} + 14 \frac{8}{10} = 38 \frac{11}{10} = 39 \frac{1}{10} \) (т).3) В центнерах это:
    \( 39 \frac{1}{10} \text{ т} = 391 \frac{1}{10} \text{ ц} = 10 : 10 \cdot 391 = 391 \) (ц).Ответ: 391 ц.

1. Закрашенная часть фигуры выражается отношением части к целому, где целая фигура принимается за 1. В данном случае сказано, что закрашена часть, равная \( \frac{11}{15} \). Это означает, что если всю фигуру разделить на 15 равных частей, то 11 из них окрашены. Таким образом, доля окрашенной части равна именно этой дроби, которая показывает, какую часть от всей фигуры занимает окрашенная область.

Для понимания сути задачи важно представить, что вся фигура — это единое целое, а дробь \( \frac{11}{15} \) — это часть этого целого. Если бы фигура была разделена на 15 равных секторов или частей, то закрашенными были бы 11 таких секторов. Остальные \( 15 — 11 = 4 \) части остаются незакрашенными. Такая запись позволяет легко сравнивать и вычислять доли, а также использовать полученное значение в дальнейших расчетах, например, для нахождения площади или объема.

Таким образом, ответ \( \frac{11}{15} \) — это числовое выражение доли закрашенной области. Оно показывает, что большая часть фигуры закрашена, но не вся. Если нужно найти, сколько осталось незакрашенным, можно вычесть данную дробь из 1, то есть \( 1 — \frac{11}{15} = \frac{4}{15} \). Эта простая операция помогает понять распределение частей фигуры между закрашенной и незакрашенной областями.

2. Стоимость покупки вычисляется по следующему алгоритму. Сначала берём исходную сумму в 35 000 рублей и делим её на 7, так как в условии указано деление на 7. Это действие показывает, сколько рублей приходится на одну часть от семи равных частей. В результате получаем \( 35\,000 : 7 = 5\,000 \) рублей. Это означает, что одна часть равна 5 000 рублей.

Далее, полученную сумму 5 000 рублей умножаем на 2, так как в формуле стоит операция умножения на 2. Умножение на 2 увеличивает сумму в два раза, то есть мы берём две такие части по 5 000 рублей. Выполнив умножение, получаем \( 5\,000 \cdot 2 = 10\,000 \) рублей. Таким образом, итоговая стоимость покупки равна 10 000 рублей.

В итоге, последовательность действий — это деление исходной суммы на 7, чтобы найти стоимость одной части, а затем умножение результата на 2, чтобы получить стоимость двух таких частей. Именно такое вычисление и даёт ответ: стоимость покупки составляет \( 10\,000 \) рублей. Этот подход позволяет правильно распределить сумму и получить конечный результат без ошибок.

3. Первоначально в магазине было неизвестное количество картофеля, которое нужно найти. Из условия известно, что после деления этого количества на 3 и умножения результата на 8, получается 640 килограммов. Сначала выполняем деление: \(240 : 3 = 80\). Это означает, что если разделить 240 килограммов картофеля на 3 части, каждая часть будет весить 80 килограммов. Деление здесь используется для того, чтобы определить вес одной части из трех равных частей.

Затем полученное число 80 умножаем на 8: \(80 \cdot 8 = 640\). Это действие показывает, сколько килограммов картофеля будет, если взять 8 таких частей по 80 килограммов каждая. Умножение применяется для того, чтобы увеличить количество картофеля в 8 раз, исходя из веса одной части. Таким образом, исходное количество картофеля в магазине можно выразить через произведение результата деления и числа 8.

В итоге, чтобы найти исходное количество картофеля, нужно выполнить последовательные арифметические операции: сначала разделить 240 на 3, затем умножить результат на 8. Получаем ответ: \(240 : 3 \cdot 8 = 80 \cdot 8 = 640\) килограммов картофеля. Это и будет первоначальное количество картофеля в магазине. Ответ: 640 кг.

4. Из данных дробей правильными являются те, у которых числитель меньше знаменателя. Это определение правильной дроби: числитель — это верхнее число, а знаменатель — нижнее, и если числитель меньше знаменателя, дробь называется правильной. В противном случае дробь называется неправильной. Рассмотрим предложенные варианты.

в) Дробь \( \frac{2}{3} \) является правильной, потому что числитель 2 меньше знаменателя 3. Это означает, что часть, которую показывает дробь, меньше целого. Если представить целое как 3 равные части, то 2 из них — это часть целого, но не вся величина. Такая дробь всегда меньше единицы, что и подтверждает её правильность.

г) Дробь \( \frac{4}{7} \) также правильная, так как числитель 4 меньше знаменателя 7. Это значит, что из 7 равных частей взяли 4, что меньше целого. Подобная дробь также меньше единицы. Если бы числитель был равен или больше знаменателя, дробь была бы неправильной, показывая значение равное или больше единицы.

Таким образом, правильными дробями из предложенных являются именно \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{4}{7} \), так как только в этих случаях числитель меньше знаменателя. Другие дроби, где числитель равен или больше знаменателя, правильными не считаются. Ответ: в) и г).

5. а) Рассмотрим дробь \( \frac{7}{a} \), где \( a \) принимает значения из множества \( \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\} \). Неправильная дробь — это такая дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Здесь числитель равен 7, поэтому дробь будет неправильной, если знаменатель \( a \) меньше или равен 7. Поскольку все значения \( a \) из данного множества удовлетворяют этому условию, дробь при любом \( a \) из этого множества будет неправильной. Следовательно, правильный ответ — это те значения \( a \), при которых дробь неправильная, то есть все из множества.
Варианты ответа: а) 7; в) 1; г) 4. Здесь правильным ответом является а) 7, так как при \( a = 7 \) дробь равна \( \frac{7}{7} = 1 \), что является граничным случаем неправильной дроби (числитель равен знаменателю). При других значениях \( a \), меньших 7, дробь будет больше 1, что также соответствует неправильной дроби.

в) Теперь рассмотрим выражение \( \frac{32}{7} \). Чтобы представить эту дробь в виде смешанного числа, делим 32 на 7. Целая часть равна 4, так как \( 7 \times 4 = 28 \), а остаток равен \( 32 — 28 = 4 \). Таким образом, дробь \( \frac{32}{7} \) можно записать как смешанное число \( 4 \frac{4}{7} \). Это значит, что 32 семёрок содержится 4 раза полностью, и остаётся ещё \( \frac{4}{7} \) части.

г) Ответ на вторую часть задания — это смешанное число \( 4 \frac{4}{7} \), что соответствует варианту г). Такой способ представления дроби удобен для восприятия, так как показывает, сколько целых частей содержится в дроби и какую часть от следующей целой части она занимает. Это важно для понимания величины дроби и её сравнения с другими числами.

6. Дано число \( \frac{32}{7} \). Чтобы представить его в виде смешанного числа, нужно понять, сколько целых частей содержится в этой дроби и какова остальная часть дроби. Для этого делим числитель на знаменатель: \( 32 \div 7 \). Целая часть результата деления будет целой частью смешанного числа, а остаток от деления станет числителем дробной части.

Выполним деление: \( 7 \times 4 = 28 \), это максимально близкое к 32, но не превышающее число. Значит, целая часть равна 4. Остаток от деления будет \( 32 — 28 = 4 \). Этот остаток и есть числитель дробной части смешанного числа, а знаменатель остается прежним — 7. Таким образом, дробная часть — это \( \frac{4}{7} \).

Итоговое смешанное число записывается как сумма целой части и дробной: \( 4 \frac{4}{7} \). Это и есть правильное преобразование неправильной дроби \( \frac{32}{7} \) в смешанное число. Ответ соответствует варианту г), который записан именно в таком виде: \( 4 \frac{4}{7} \).

7. А) Рассмотрим выражение \( \frac{4}{9} + \frac{5}{9} \). Здесь мы складываем две дроби с одинаковым знаменателем 9. При сложении дробей с одинаковыми знаменателями нужно просто сложить числители, оставив знаменатель без изменений. Таким образом, получаем \( \frac{4 + 5}{9} = \frac{9}{9} \). Значение дроби \( \frac{9}{9} \) равно единице, так как числитель равен знаменателю. Следовательно, сумма равна 1.

Во второй части утверждается, что это равенство соответствует цифре 3. То есть, результат вычисления \( \frac{4}{9} + \frac{5}{9} = 1 \) сопоставляется с числом 3.

Б) В выражении \( 2 — \frac{4}{9} \) нам нужно вычесть дробь из целого числа. Для этого целое число 2 представим в виде дроби с тем же знаменателем, что и у дроби \( \frac{4}{9} \), то есть \( \frac{18}{9} \), так как \( 2 = \frac{18}{9} \). Теперь можно выполнить вычитание: \( \frac{18}{9} — \frac{4}{9} = \frac{18 — 4}{9} = \frac{14}{9} \).

Дробь \( \frac{14}{9} \) неправильная, ее можно записать в виде смешанного числа: \( 1 \frac{5}{9} \). Это означает, что результат равен \( 1 \frac{5}{9} \), и данное значение соответствует числу 2.

В) Следующее выражение \( 1 \frac{5}{9} — \frac{7}{9} \) требует вычитания дробей. Сначала переведём смешанное число в неправильную дробь: \( 1 \frac{5}{9} = \frac{14}{9} \). Теперь вычитаем \( \frac{7}{9} \) из \( \frac{14}{9} \): \( \frac{14}{9} — \frac{7}{9} = \frac{14 — 7}{9} = \frac{7}{9} \).

Полученное значение — правильная дробь \( \frac{7}{9} \), которая соответствует числу 4.

Г) В выражении \( 1 \frac{1}{9} + \frac{8}{9} \) сначала переведём смешанное число в неправильную дробь: \( 1 \frac{1}{9} = \frac{10}{9} \). Теперь складываем две дроби с одинаковым знаменателем: \( \frac{10}{9} + \frac{8}{9} = \frac{10 + 8}{9} = \frac{18}{9} \).

Дробь \( \frac{18}{9} \) упрощается до 2, так как числитель в два раза больше знаменателя. Результат равен 2, и он соответствует числу 1.

Ответ: А – 3; Б – 2; В – 4; Г – 1.

8. 1) Рассмотрим выражение \(1 \frac{1}{2} \text{ м}\). Это смешанное число, которое можно представить как сумму целой части и дробной, то есть \(1 \text{ м} + \frac{1}{2} \text{ м}\). Для удобства переведём метры в сантиметры, учитывая, что \(1 \text{ м} = 100 \text{ см}\). Тогда \(1 \text{ м} = 100 \text{ см}\), а \(\frac{1}{2} \text{ м} = 50 \text{ см}\). Складывая, получаем \(100 \text{ см} + 50 \text{ см} = 150 \text{ см}\).

Далее сравним полученное значение с исходным. В условии говорится, что \(1 \frac{1}{2} \text{ м} = 150 \text{ см}\), что мы подтвердили вычислениями. Значит, равенство верно, поскольку все единицы измерения были приведены к сантиметрам и сумма совпала с заданной величиной.

2) Рассмотрим выражение \(1 \frac{1}{2} \text{ км}\). Разложим его на сумму целой и дробной частей: \(1 \text{ км} + \frac{1}{2} \text{ км}\). Переведём километры в метры, зная, что \(1 \text{ км} = 1000 \text{ м}\). Тогда \(1 \text{ км} = 1000 \text{ м}\), а \(\frac{1}{2} \text{ км} = 500 \text{ м}\). Сложим: \(1000 \text{ м} + 500 \text{ м} = 1500 \text{ м}\).

В условии сравнивается это значение с \(150 \text{ м}\). Поскольку \(1500 \text{ м} \neq 150 \text{ м}\), равенство неверно. Ошибка возникла из-за неправильного сравнения величин, так как \(1500 \text{ м}\) — это в десять раз больше, чем \(150 \text{ м}\).

3) Рассмотрим \(1 \frac{1}{5} \text{ дм}\). Запишем как сумму: \(1 \text{ дм} + \frac{1}{5} \text{ дм}\). Переведём дециметры в сантиметры, учитывая, что \(1 \text{ дм} = 10 \text{ см}\). Тогда \(1 \text{ дм} = 10 \text{ см}\), а \(\frac{1}{5} \text{ дм} = 2 \text{ см}\) (потому что \(10 \times \frac{1}{5} = 2\)).

Сложим: \(10 \text{ см} + 2 \text{ см} = 12 \text{ см}\). В условии указано сравнение с \(14 \text{ см}\). Так как \(12 \text{ см} \neq 14 \text{ см}\), равенство неверно. Ошибка в исходном утверждении — неправильное значение результата.

4) Рассмотрим снова \(1 \frac{1}{2} \text{ км}\). Запишем как \(1 \text{ км} + \frac{1}{2} \text{ км}\). Переводим в метры: \(1 \text{ км} = 1000 \text{ м}\), \(\frac{1}{2} \text{ км} = 500 \text{ м}\). Сложим: \(1000 \text{ м} + 500 \text{ м} = 1500 \text{ м}\).

В условии указано, что это равно \(1500 \text{ м}\), что совпадает с нашим вычислением. Значит, равенство верно. Здесь важно было правильно перевести единицы измерения и сложить результаты, чтобы подтвердить правильность утверждения.

Ответ: 1) и 4).

9. Для решения задачи нужно сложить два смешанных числа, которые выражают количество привезённой гречки в тоннах. Первое число — это \(3 \frac{7}{10}\), второе — \(1 \frac{3}{10}\). Чтобы сложить эти числа, сначала складываем целые части: \(3 + 1 = 4\). Затем складываем дробные части: \(\frac{7}{10} + \frac{3}{10} = \frac{10}{10}\).

Дробь \(\frac{10}{10}\) равна единице, то есть это целая тонна. Прибавляя эту единицу к сумме целых частей, получаем \(4 + 1 = 5\). Таким образом, общее количество гречки, привезённой в тоннах, равно \(5\).

Итоговое выражение можно записать так: \(3 \frac{7}{10} + 1 \frac{3}{10} = 4 \frac{10}{10} = 5\) (т). Это означает, что всего привезли 5 тонн гречки. Ответ: 5 т.

10. 1) Сначала определим, сколько яблок привезли на склад. В условии указано, что изначально было \( 24 \frac{3}{10} \) тонн яблок, затем отняли \( 9 \frac{5}{10} \) тонн. Для удобства работы с дробями сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби или выполним вычитание по частям. Вычитаем целые части: \( 24 — 9 = 15 \), а дробные части: \( \frac{3}{10} — \frac{5}{10} = -\frac{2}{10} \). Поскольку дробная часть отрицательная, уменьшаем целую часть на 1 и прибавляем 1 к дробной части, получая \( 14 \) целых и дробь \( 1 — \frac{2}{10} = \frac{8}{10} \). Таким образом, результат вычитания равен \( 14 \frac{8}{10} \) тонн яблок.

Во втором абзаце этого пункта важно понять, что дробные части нужно приводить к общему знаменателю и аккуратно выполнять операции с ними, чтобы не допустить ошибок. Здесь знаменатель одинаковый — 10, поэтому вычитание дробей сводится к простой арифметике числителей. Итоговое число \( 14 \frac{8}{10} \) тонн показывает, сколько яблок осталось на складе после вычитания.

2) Теперь найдём общее количество фруктов, привезённых на склад. Для этого сложим количество яблок \( 24 \frac{3}{10} \) тонн и количество других фруктов \( 14 \frac{8}{10} \) тонн. Сложение смешанных чисел выполняется по частям: складываем целые части \( 24 + 14 = 38 \) и дробные части \( \frac{3}{10} + \frac{8}{10} = \frac{11}{10} \). Поскольку дробь неправильная, её можно представить как \( 1 \frac{1}{10} \), то есть прибавить 1 к целой части и оставить дробь \( \frac{1}{10} \). В итоге получается \( 39 \frac{1}{10} \) тонн фруктов.

Во втором абзаце объясним, что при сложении дробей с одинаковым знаменателем просто складываются числители, а если сумма числителей превышает знаменатель, выделяется целая часть. Это важно для правильного представления результата в виде смешанного числа, как и здесь.

3) Чтобы перевести массу фруктов из тонн в центнеры, нужно помнить, что 1 тонна равна 10 центнерам. Масса фруктов равна \( 39 \frac{1}{10} \) тонн, что можно представить как \( \frac{391}{10} \) тонн. Умножая на 10, получаем количество центнеров: \( \frac{391}{10} \times 10 = 391 \) центнер. Этот простой перевод единиц измерения позволяет выразить массу фруктов в удобных для учета величинах.

Во втором абзаце разъясним, что для перевода из тонн в центнеры используется коэффициент 10, так как 1 тонна = 1000 кг, а 1 центнер = 100 кг, следовательно, в одной тонне 10 центнеров. Умножение дробного числа на 10 сокращает знаменатель, что упрощает вычисления и даёт точный ответ.