ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 999 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

На рисунке 104 угол \(AOC\) равен углу \(DOB\). Докажите, что угол \(AOB\) равен углу \(COD\).

Угол \( \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC \);
Угол \( \angle DOB = \angle COD + \angle BOC \).

Известно, что \( \angle AOC = \angle DOB \).

Приравниваем правые части равенств:
\( \angle AOB + \angle BOC = \angle COD + \angle BOC \).

Так как в левой и в правой частях равенства угол \( \angle BOC \) одинаковый, то сокращаем его.

Тогда:
\( \angle AOB = \angle COD \).

Что и требовалось доказать.

Угол \( \angle AOC \) можно представить как сумму двух углов: \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \). Это происходит потому, что точка \( O \) является общей вершиной для всех трёх углов, а лучи \( OA \), \( OB \) и \( OC \) располагаются так, что угол \( \angle AOC \) разбивается на два меньших угла, лежащих рядом друг с другом. Таким образом, по правилу сложения углов, имеем равенство \( \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC \). Аналогично, угол \( \angle DOB \) также разбивается на сумму углов \( \angle COD \) и \( \angle BOC \), то есть \( \angle DOB = \angle COD + \angle BOC \). Здесь важно понимать, что угол \( \angle BOC \) входит в состав обеих сумм.

Известно, что углы \( \angle AOC \) и \( \angle DOB \) равны, то есть \( \angle AOC = \angle DOB \). Подставляя в это равенство выражения для каждого из них, получаем \( \angle AOB + \angle BOC = \angle COD + \angle BOC \). Это ключевой шаг, так как теперь мы видим, что в обеих частях уравнения присутствует один и тот же угол \( \angle BOC \). Поскольку угол \( \angle BOC \) одинаковый в левой и правой части равенства, его можно сократить, то есть вычесть из обеих частей уравнения. Это действие основано на свойстве равенств: если к двум сторонам равенства прибавить или отнять одно и то же число (или угол), равенство не изменится.

После сокращения угла \( \angle BOC \) остаётся простое равенство \( \angle AOB = \angle COD \). Таким образом, мы доказали, что углы \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) равны. Этот вывод основан на разложении углов \( \angle AOC \) и \( \angle DOB \) на суммы и использовании свойства равенств для сокращения одинаковых частей. В итоге мы получили требуемое равенство углов, что и требовалось доказать.