ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 961 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Как сравнить:
а) четырёхзначное и пятизначное натуральные числа;
б) два шестизначных числа, первое из которых начинается цифрой 7, а второе — цифрой 5;
в) натуральное число и 0;
г) обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями;
д) десятичные дроби с разными целыми частями;
е) десятичные дроби с одинаковыми целыми частями?

а) Любое пятизначное число всегда больше любого четырёхзначного числа, так как у пятизначного числа порядок больше.

б) Шестизначное число, начинающееся с цифры 7, больше шестизначного числа, начинающегося с цифры 5, так как первая цифра определяет порядок.

в) Любое натуральное число всегда больше нуля по определению множества натуральных чисел.

г) При одинаковых знаменателях больше та дробь, числитель которой больше, так как знаменатель общий.

д) Если у десятичных дробей разные целые части, то сравниваем именно целые части, так как они определяют порядок.

е) Если у десятичных дробей одинаковые целые части, то сравниваем их дробные части для определения порядка.

а) Любое пятизначное число всегда больше любого четырёхзначного числа, потому что количество цифр в числе определяет его порядок. Пятизначное число имеет вид \(abcde\), где \(a \neq 0\), и его значение можно представить как \(a \cdot 10^4 + b \cdot 10^3 + c \cdot 10^2 + d \cdot 10 + e\). Четырёхзначное число, например \(wxyz\), имеет максимальное значение \(9 \cdot 10^3 + 9 \cdot 10^2 + 9 \cdot 10 + 9 = 9999\). Поскольку \(10^4 = 10000\), любое пятизначное число будет не меньше \(10000\), а значит всегда больше любого четырёхзначного числа.

Таким образом, сравнение чисел с разным количеством цифр сводится к сравнению их порядков. Если число содержит больше цифр, оно обязательно больше, независимо от значений остальных цифр. Это связано с тем, что старший разряд в пятизначном числе уже превышает максимальное значение четырёхзначного числа.

б) Шестизначное число, начинающееся с цифры 7, больше шестизначного числа, начинающегося с цифры 5, поскольку первая цифра определяет порядок числа. Например, число \(7abcde\) можно представить как \(7 \cdot 10^5 + a \cdot 10^4 + b \cdot 10^3 + c \cdot 10^2 + d \cdot 10 + e\), а число \(5fghij\) — как \(5 \cdot 10^5 + f \cdot 10^4 + g \cdot 10^3 + h \cdot 10^2 + i \cdot 10 + j\).

Так как \(7 \cdot 10^5 = 700000\) и \(5 \cdot 10^5 = 500000\), уже первая цифра даёт преимущество первому числу. Это значит, что независимо от значений остальных цифр, число с первой цифрой 7 всегда будет больше числа с первой цифрой 5 при одинаковом количестве цифр.

в) Любое натуральное число по определению больше нуля. Натуральные числа — это числа, используемые для счёта, начиная с 1 и далее: \(1, 2, 3, \ldots\). Ноль не входит в множество натуральных чисел, поэтому любое натуральное число \(n\) удовлетворяет условию \(n > 0\).

Это основано на аксиомах теории чисел, где натуральные числа представляют собой положительные целые числа, и их сравнение с нулём всегда даёт результат «больше». Таким образом, утверждение, что любое натуральное число всегда больше нуля, является фундаментальным и не требует дополнительных условий.

г) При одинаковых знаменателях сравнивать дроби проще всего по числителям. Если у дробей одинаковый знаменатель \(q\), например дроби \(\frac{a}{q}\) и \(\frac{b}{q}\), то их сравнение сводится к сравнению числителей \(a\) и \(b\). Если \(a > b\), то \(\frac{a}{q} > \frac{b}{q}\).

Это связано с тем, что знаменатель показывает, на сколько частей разделено целое, а числитель — сколько этих частей взято. При одинаковом знаменателе большее количество частей (числитель) означает большую дробь. Поэтому при равных знаменателях достаточно сравнить числители.

д) Если у десятичных дробей разные целые части, их сравнивают по целым частям. Например, если есть числа \(x = m + r\) и \(y = n + s\), где \(m\) и \(n\) — целые части, а \(r\) и \(s\) — дробные части, и \(m \neq n\), то для сравнения достаточно сравнить \(m\) и \(n\).

Если \(m > n\), то \(x > y\), независимо от дробных частей, так как целая часть задаёт основной порядок числа. Дробная часть \(r\) или \(s\) может быть любой, но если целые части отличаются, она не влияет на результат сравнения.

е) Если у десятичных дробей одинаковые целые части, то сравнивают дробные части. Пусть \(x = m + r\) и \(y = m + s\), где \(m\) — общая целая часть, а \(r\) и \(s\) — дробные части. Для сравнения чисел смотрят на дробные части: если \(r > s\), то \(x > y\).

Дробные части можно рассматривать как числа меньше единицы, и их сравнение происходит по цифрам после запятой, слева направо. Если первые цифры дробной части равны, переходят к следующей, пока не найдут отличающуюся цифру. Эта процедура позволяет точно определить, какая десятичная дробь больше при равных целых частях.