ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 816 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Угол \(AOB\) развёрнутый, а \(OC\) — луч. Найдите градусные меры углов \(AOC\) и \(COB\), если:

а) градусная мера угла \(AOC\) втрое больше, чем градусная мера угла \(COB\);

б) градусная мера угла \(AOC\) на \(60^\circ\) больше градусной меры угла \(COB\);

в) градусная мера угла \(AOC\) в 4 раза меньше, чем градусная мера угла \(COB\).

а) Пусть угол \( \angle COB = x^\circ \), тогда \( \angle AOC = 3x^\circ \). Известно, что \( \angle AOB = \angle COB + \angle AOC \) и \( \angle AOB = 180^\circ \).

Составим уравнение:
\( x + 3x = 180 \)
\( 4x = 180 \)
\( x = \frac{180}{4} = 45^\circ \Rightarrow \angle COB \).

Тогда
\( \angle AOC = 3x = 3 \cdot 45 = 135^\circ \).

Ответ: \( \angle COB = 45^\circ \), \( \angle AOC = 135^\circ \).

б) Пусть \( \angle COB = x^\circ \), тогда \( \angle AOC = (x + 60)^\circ \). Известно, что \( \angle AOB = \angle COB + \angle AOC \) и \( \angle AOB = 180^\circ \).

Составим уравнение:
\( x + (x + 60) = 180 \)
\( 2x + 60 = 180 \)
\( 2x = 180 — 60 = 120 \)
\( x = \frac{120}{2} = 60^\circ \Rightarrow \angle COB \).

Тогда
\( \angle AOC = x + 60 = 60 + 60 = 120^\circ \).

Ответ: \( \angle COB = 60^\circ \), \( \angle AOC = 120^\circ \).

в) Пусть \( \angle AOC = x^\circ \), тогда \( \angle COB = 4x^\circ \). Известно, что \( \angle AOB = \angle COB + \angle AOC \) и \( \angle AOB = 180^\circ \).

Составим уравнение:
\( x + 4x = 180 \)
\( 5x = 180 \)
\( x = \frac{180}{5} = 36^\circ \Rightarrow \angle AOC \).

Тогда
\( \angle COB = 4x = 4 \cdot 36 = 144^\circ \).

Ответ: \( \angle COB = 144^\circ \), \( \angle AOC = 36^\circ \).

а) Пусть угол \( \angle COB = x^\circ \). По условию дано, что угол \( \angle AOC \) в три раза больше угла \( \angle COB \), то есть \( \angle AOC = 3x^\circ \). Известно, что сумма углов \( \angle COB \) и \( \angle AOC \) равна углу \( \angle AOB \), а сам угол \( \angle AOB \) равен \( 180^\circ \), так как это развернутый угол. Таким образом, можно записать уравнение: \( x + 3x = 180 \), где левая часть — сумма двух углов, а правая часть — полный угол.

Решая уравнение, складываем \( x \) и \( 3x \), получаем \( 4x = 180 \). Чтобы найти \( x \), делим обе части уравнения на 4: \( x = \frac{180}{4} = 45^\circ \). Это значение и есть величина угла \( \angle COB \). Далее подставляем найденное значение \( x = 45^\circ \) в выражение для угла \( \angle AOC \): \( \angle AOC = 3 \cdot 45 = 135^\circ \). Полученные углы \( 45^\circ \) и \( 135^\circ \) в сумме дают \( 180^\circ \), что подтверждает правильность решения.

Ответ: \( \angle COB = 45^\circ \), \( \angle AOC = 135^\circ \).

б) Пусть угол \( \angle COB = x^\circ \). По условию угол \( \angle AOC \) больше угла \( \angle COB \) на \( 60^\circ \), то есть \( \angle AOC = (x + 60)^\circ \). Известно, что сумма этих углов равна \( 180^\circ \), так как \( \angle AOB = \angle COB + \angle AOC \) и \( \angle AOB = 180^\circ \). Запишем уравнение: \( x + (x + 60) = 180 \).

Складываем левую часть: \( 2x + 60 = 180 \). Чтобы найти \( x \), сначала вычтем 60 из обеих частей уравнения: \( 2x = 180 — 60 = 120 \). Теперь делим обе части на 2: \( x = \frac{120}{2} = 60^\circ \). Это значение — величина угла \( \angle COB \). Подставляем \( x = 60^\circ \) в выражение для \( \angle AOC \): \( \angle AOC = 60 + 60 = 120^\circ \). Проверяем сумму: \( 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ \), что соответствует условию.

Ответ: \( \angle COB = 60^\circ \), \( \angle AOC = 120^\circ \).

в) Пусть угол \( \angle AOC = x^\circ \). По условию угол \( \angle COB \) в четыре раза больше угла \( \angle AOC \), то есть \( \angle COB = 4x^\circ \). Известно, что сумма этих углов равна \( 180^\circ \), так как \( \angle AOB = \angle COB + \angle AOC \) и \( \angle AOB = 180^\circ \). Запишем уравнение: \( x + 4x = 180 \).

Складываем левую часть: \( 5x = 180 \). Чтобы найти \( x \), делим обе части уравнения на 5: \( x = \frac{180}{5} = 36^\circ \). Это значение — величина угла \( \angle AOC \). Подставляем \( x = 36^\circ \) в выражение для \( \angle COB \): \( \angle COB = 4 \cdot 36 = 144^\circ \). Проверяем сумму: \( 36^\circ + 144^\circ = 180^\circ \), что соответствует условию.

Ответ: \( \angle COB = 144^\circ \), \( \angle AOC = 36^\circ \).