ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 676 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

В двоичной системе счисления при записи числа используют всего две цифры: 0 и 1. Число «один» записывается, как обычно, 1, но число «два» составляет уже единицу второго разряда и поэтому записывается так: \(10_2\) «одна двойка и нуль единиц» (цифра 2, находящаяся внизу в конце записи числа, означает, что число записано в двоичной системе). Число «три» изображается: \(11_2\), «одна двойка и одна единица». Число «четыре» представляет собой единицу следующего, третьего разряда и поэтому записывается так: \(100_2\) «одна четвёрка, нуль двоек и нуль единиц». Таким образом, если в записи числа цифру 1 передвинуть влево на один разряд, то её значение увеличивается вдвое (а не в десять раз, как в нашей десятичной системе). Сравните представление числа, запись которого состоит из четырёх цифр 1, в виде суммы разрядных единиц в десятичной и двоичной системах:
\(1111 = 1 \cdot 1000 + 1 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 1 = 1 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 1;\)
\(1111_2 = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2 + 1 = 15.\)
Попробуйте записать в десятичной системе счисления числа, которые в двоичной системе пишутся так: \(10_2\); \(100_2\); \(101_2\); \(110_2\); \(1110_2\). Запишите в двоичной системе все натуральные числа от 1 до 15 включительно. Подумайте, почему двоичная система широко используется в вычислительной технике, но она неудобна в повседневной практике.

\(10_2 = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 2\);

\(100_2 = 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 4\);

\(101_2 = 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 4 + 1 = 5\);

\(110_2 = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 4 + 2 = 6\);

\(1110_2 = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 8 + 4 + 2 = 14\).

\(1 = 1;\quad 2 = 10_2;\quad 3 = 11_2;\quad 4 = 100_2;\quad 5 = 101_2;\quad 6 = 110_2;\)
\(\quad 7 = 111_2;\quad 8 = 1000_2;\quad 9 = 1001_2;\quad 10 = 1010_2;\quad 11 = 1011_2;\)
\(\quad 12 = 1100_2;\quad 13 = 1101_2;\quad 14 = 1110_2;\quad 15 = 1111_2.\)

Двоичная система неудобна в повседневной практике, потому что:

– человеку понятнее десятичная система счисления, скорее всего, из-за того, что с древних времён люди считали по пальцам (на руках и ногах);

– запись длиннее, чем в десятичной системе счисления.

а) Рассмотрим перевод двоичного числа \(10_2\) в десятичную систему. Для этого нужно представить число как сумму произведений каждой цифры на основание системы, возведённое в степень, соответствующую позиции цифры. В числе \(10_2\) первая цифра «1» стоит на позиции с весом \(2^1\), а вторая цифра «0» — на позиции с весом \(2^0\). Значит, вычисляем \(1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 2 + 0 = 2\). Таким образом, двоичное число \(10_2\) равно десятичному числу 2.

Далее рассмотрим число \(100_2\). Здесь три цифры: «1» на позиции с весом \(2^2\), «0» на позиции \(2^1\) и «0» на позиции \(2^0\). Считаем сумму: \(1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 4 + 0 + 0 = 4\). Это показывает, что двоичное число \(100_2\) соответствует десятичному 4. Принцип перевода состоит в разложении числа по степеням двойки и суммировании соответствующих значений.

б) Следующий пример — число \(101_2\). Здесь цифры «1», «0» и «1» расположены на позициях с весами \(2^2\), \(2^1\) и \(2^0\) соответственно. Переводим, вычисляя сумму: \(1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 4 + 0 + 1 = 5\). Это означает, что \(101_2\) равно 5 в десятичной системе. Такой способ перевода универсален для всех двоичных чисел.

Для числа \(110_2\) цифры «1», «1» и «0» стоят на позициях с весами \(2^2\), \(2^1\) и \(2^0\). Считаем сумму: \(1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 4 + 2 + 0 = 6\). Таким образом, двоичное число \(110_2\) соответствует десятичному числу 6.

в) Рассмотрим более длинное число \(1110_2\). Его цифры «1», «1», «1» и «0» располагаются на позициях с весами \(2^3\), \(2^2\), \(2^1\) и \(2^0\). Переводим, вычисляя сумму: \(1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14\). Это показывает, что \(1110_2\) в десятичной системе равно 14.

Далее приведена таблица соответствия десятичных чисел от 1 до 15 их двоичным эквивалентам:

г) Двоичная система счисления менее удобна для повседневного использования по нескольким причинам. Во-первых, человеку привычнее десятичная система, так как она основана на счёте пальцев на руках и ногах, то есть на десяти единицах. Это исторически сложившийся способ счёта, который проще воспринимается и используется в быту.

Во-вторых, запись чисел в двоичной системе получается длиннее, чем в десятичной, потому что для представления того же значения требуется больше цифр. Например, десятичное число 15 записывается как \(1111_2\), то есть четырьмя цифрами, тогда как в десятичной системе — одной цифрой. Это усложняет чтение и запись чисел в двоичном формате.

Таким образом, несмотря на простоту перевода и важность двоичной системы в вычислительной технике, для повседневных задач она менее удобна из-за исторических и практических причин.