ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 623 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Сравните, не вычисляя, значения выражений:  

а) \(24 \cdot 0,15\) и \((24 \cdot 15) : 100\);  

б) \(0,084 \cdot 0,5\) и \((84 \cdot 5) : 10000\).  

Объясните полученный ответ.

а) \(24 \cdot 0{,}15 = (24 \cdot 15) : 100\), так как:
\((24 \cdot 15) : 100 = 24 \cdot (15 : 100) = 24 \cdot 0{,}15\).

б) \(0{,}084 \cdot 0{,}5 = (84 \cdot 5) : 10\,000\), так как:
\((84 \cdot 5) : 10\,000 = (84 \cdot 5) : (1\,000 \cdot 10) = (84 : 1\,000) \cdot (5 : 10) = 0{,}084 \cdot 0{,}5\).

а) Рассмотрим выражение \(24 \cdot 0{,}15\). Чтобы упростить умножение с десятичной дробью, можно представить \(0{,}15\) как \(\frac{15}{100}\). Тогда умножение превращается в деление: \(24 \cdot 0{,}15 = 24 \cdot \frac{15}{100} = \frac{24 \cdot 15}{100}\). Это равносильно операции \((24 \cdot 15) : 100\), где двоеточие обозначает деление. Таким образом, мы сначала умножаем целые числа 24 и 15, а затем делим результат на 100.

Далее, чтобы проверить правильность, можно применить распределительное свойство умножения относительно деления: \((24 \cdot 15) : 100 = 24 \cdot (15 : 100)\). Здесь мы сначала делим 15 на 100, получаем \(0{,}15\), а затем умножаем на 24, что возвращает исходное выражение. Это показывает эквивалентность двух способов вычисления: либо сразу умножать на десятичную дробь, либо умножать на целое число и потом делить на 100.

Таким образом, операция \(24 \cdot 0{,}15\) равна \(\frac{24 \cdot 15}{100}\), что наглядно демонстрирует связь между умножением на десятичную дробь и делением на степень десяти. Это упрощает вычисления и помогает лучше понять свойства чисел и операций с ними.

б) В выражении \(0{,}084 \cdot 0{,}5\) также можно использовать разложение десятичных дробей в дроби с целыми числами. Число \(0{,}084\) представляется как \(\frac{84}{1000}\), а \(0{,}5\) как \(\frac{5}{10}\). Тогда умножение становится \(\frac{84}{1000} \cdot \frac{5}{10} = \frac{84 \cdot 5}{1000 \cdot 10} = \frac{84 \cdot 5}{10000}\).

Для удобства можно рассмотреть числитель и знаменатель отдельно. В числителе у нас произведение \(84 \cdot 5\), а в знаменателе произведение \(1000 \cdot 10\), что равно \(10^{4}\). Это позволяет переписать выражение как \((84 \cdot 5) : 10^{4}\), то есть деление произведения целых чисел на десять тысяч.

Для более детального понимания можно разложить знаменатель: \(10^{4} = 10^{3} \cdot 10 = 1000 \cdot 10\). Тогда выражение переписывается как \((84 \cdot 5) : (1000 \cdot 10)\). Используя свойство деления произведения, получаем \((84 : 1000) \cdot (5 : 10) = 0{,}084 \cdot 0{,}5\), что подтверждает исходное равенство.

Таким образом, умножение двух десятичных дробей можно свести к умножению целых чисел и последующему делению результата на соответствующую степень десяти, что облегчает вычисления и дает ясное представление о структуре чисел.