ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 620 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Каково значение выражения \(5683,25a\) при \(a = 10; 0,1; 0,01; 100; 0,001; 1000; 0,00001\)?

а) Умножение числа \(5\,683,25\) на \(10\) сдвигает десятичную запятую вправо на один знак, поэтому \(5\,683,25 \cdot 10 = 56\,832,5\). Число увеличивается в 10 раз, а количество знаков после запятой уменьшается с двух до одного.

б) При умножении на \(0,1\) (то есть на \(10^{-1}\)) запятая сдвигается влево на один знак: \(5\,683,25 \cdot 0,1 = 568,325\). Число уменьшается в 10 раз, а точность увеличивается за счёт большего количества знаков после запятой.

в) Умножение на \(0,01 = 10^{-2}\) сдвигает запятую влево на два знака, уменьшая число в 100 раз: \(5\,683,25 \cdot 0,01 = 56,8325\). Дробная часть становится длиннее, число уменьшается.

г) При умножении на \(100 = 10^2\) запятая сдвигается вправо на два знака, число увеличивается в 100 раз: \(5\,683,25 \cdot 100 = 568\,325\). Дробная часть исчезает, число становится целым.

д) Умножение на \(0,001 = 10^{-3}\) сдвигает запятую влево на три знака, уменьшая число в 1000 раз: \(5\,683,25 \cdot 0,001 = 5,68325\). Точность увеличивается, число становится меньше.

е) При умножении на \(1\,000 = 10^3\) запятая сдвигается вправо на три знака, число увеличивается в 1000 раз: \(5\,683,25 \cdot 1\,000 = 5\,683\,250\). Дробная часть исчезает, число становится целым.

ж) Умножение на \(0,00001 = 10^{-5}\) сдвигает запятую влево на пять знаков, уменьшая число в 100000 раз: \(5\,683,25 \cdot 0,00001 = 0,0568325\). Число становится очень маленьким, точность увеличивается.

а) Рассмотрим умножение числа \(5\,683,25\) на \(a = 10\). Умножение на десять — это умножение на \(10^1\), что эквивалентно сдвигу десятичной запятой вправо на один знак. Изначально число записано с двумя знаками после запятой, то есть \(5\,683,25 = 5683 + \frac{25}{100}\). При умножении на 10 десятичная запятая сдвигается вправо, и дробная часть уменьшается: теперь число становится \(56\,832,5\), где одна цифра после запятой. Это происходит потому, что при сдвиге запятой вправо дробная часть укорачивается, а целая часть увеличивается в десять раз. Таким образом, число увеличивается ровно в десять раз, сохраняя пропорции, но меняя позицию запятой.

Этот сдвиг десятичной запятой — простой способ умножения на степени десяти без непосредственного умножения. Важно отметить, что количество знаков после запятой уменьшилось с двух до одного, что означает потерю точности в десятичной части. Однако в данном случае это не приводит к ошибке, так как исходное число кратно 0,05, и результат корректен. Такой метод удобен для быстрого вычисления и понимания влияния умножения на десять на десятичные числа.

б) При \(a = 0,1\) происходит умножение на десятичную дробь, равную \(10^{-1}\). Это приводит к уменьшению числа в десять раз и сдвигу десятичной запятой влево на один знак. Исходное число \(5\,683,25\) при этом становится \(568,325\). Здесь десятичная запятая смещается влево, увеличивая количество знаков после запятой с двух до трёх, что повышает точность представления числа. Уменьшение числа в десять раз означает, что теперь оно в десять раз меньше исходного, что согласуется с изменением положения запятой.

Такое умножение часто используется для масштабирования чисел в меньшую сторону, например, при переводе единиц измерения. Увеличение количества знаков после запятой указывает на более точное представление дробной части, что важно для точных вычислений. Этот процесс демонстрирует, как умножение на дробные степени десяти влияет на величину и точность числа.

в) При \(a = 0,01\) умножаем на \(10^{-2}\), то есть уменьшаем число в сто раз. Запятая сдвигается влево на два знака, и исходное число \(5\,683,25\) превращается в \(56,8325\). Теперь количество знаков после запятой увеличилось до четырёх, что даёт более точное представление дробной части. Уменьшение в сто раз соответствует сдвигу десятичной запятой на два знака, что можно объяснить тем, что \(0,01 = \frac{1}{100}\).

При таком сдвиге число становится значительно меньше, и дробная часть становится более детализированной. Это полезно, когда нужно представить число в меньшем масштабе с высокой точностью, например, при вычислениях с малыми величинами. Таким образом, умножение на \(10^{-2}\) не только уменьшает число, но и увеличивает точность его записи.

г) При \(a = 100\) умножаем на \(10^2\), что увеличивает число в сто раз. Запятая сдвигается вправо на два знака, и число \(5\,683,25\) становится \(568\,325\). Здесь дробная часть полностью исчезает, поскольку сдвиг на два знака вправо перемещает запятую за все цифры дробной части. Число становится целым, что отражает кратность исходного числа \(0,25\) к \(0,01\).

Такой сдвиг увеличивает число в сто раз, что важно для масштабирования больших величин. Потеря дробной части не приводит к ошибке, так как исходное число кратно 0,25. Это наглядный пример того, как умножение на большие степени десяти упрощает число, делая его целым и увеличивая его масштаб.

д) При \(a = 0,001\) происходит умножение на \(10^{-3}\), уменьшающее число в тысячу раз. Запятая сдвигается влево на три знака, и исходное число \(5\,683,25\) становится \(5,68325\). Количество знаков после запятой увеличивается до пяти, что значительно повышает точность представления дробной части. Уменьшение числа в тысячу раз соответствует сдвигу запятой на три знака влево, так как \(0,001 = \frac{1}{1000}\).

Этот процесс важен для точных вычислений с малыми числами, где необходима высокая детализация дробной части. Увеличение количества знаков после запятой позволяет избежать потерь точности и сохранить важные детали числа при масштабировании вниз.

е) При \(a = 1\,000\) умножаем на \(10^3\), увеличивая число в тысячу раз. Запятая сдвигается вправо на три знака, и число \(5\,683,25\) становится \(5\,683\,250\). Дробная часть исчезает, так как сдвиг на три знака вправо перемещает запятую за все десятичные цифры. Число становится целым и значительно больше исходного, что отражает увеличение масштаба на три порядка.

Такой сдвиг удобен для представления больших чисел и упрощения вычислений, когда дробная часть несущественна. Умножение на \(10^3\) — распространённая операция при переводе единиц измерения, например, из тысяч в единицы.

ж) При \(a = 0,00001\) умножаем на \(10^{-5}\), уменьшая число в сто тысяч раз. Запятая сдвигается влево на пять знаков, и исходное число \(5\,683,25\) становится \(0,0568325\). Теперь дробная часть содержит семь знаков после запятой, что обеспечивает очень высокую точность. Уменьшение числа в сто тысяч раз соответствует сдвигу запятой на пять позиций влево, так как \(0,00001 = \frac{1}{100000}\).

Такое масштабирование используется при работе с очень малыми величинами, где важна максимальная точность. Увеличение количества знаков после запятой позволяет сохранить детали числа, которые были бы потеряны при округлении. Этот пример демонстрирует, как умножение на малые степени десяти влияет на размер и точность чисел.

Во всех рассмотренных случаях умножение числа \(5\,683,25\) на \(a = 10^n\), где \(n\) — целое число, приводит к сдвигу десятичной запятой на \(n\) позиций вправо при \(n > 0\) и влево при \(n < 0\). При этом меняется количество знаков после запятой, что влияет на точность записи числа. Понимание этого механизма позволяет быстро выполнять операции умножения и деления на степени десяти без сложных вычислений, используя только сдвиги десятичной запятой.