ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 421 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Длина прямоугольника \( x \) см, а его ширина \( y \) см. Укажите приближённые значения с недостатком и с избытком для периметра и для площади этого прямоугольника, если:

a) \(7 < x < 8,3 < y < 4\);

б) \(20 < x < 25, \quad 16 < y < 18\).

а) Если \(7 < x < 8\); \(3 < y < 4\), то:

\(P_{c \, недост} = 2 \cdot (7 + 3) = 2 \cdot 10 = 20 \, (\text{см})\).

\(P_{c \, избыт} = 2 \cdot (8 + 4) = 2 \cdot 12 = 24 \, (\text{см})\).

То есть: \(20 < 2 \cdot (x + y) < 24\).

\(S_{c \, недост} = 7 \cdot 3 = 21 \, (\text{см}^2)\).

\(S_{c \, избыт} = 8 \cdot 4 = 32 \, (\text{см}^2)\).

То есть: \(21 < xy < 32\).

б) Если \(20 < x < 25\); \(16 < y < 18\), то:

\(P_{c \, недост} = 2 \cdot (20 + 16) = 2 \cdot 36 = 72 \, (\text{см})\).

\(P_{c \, избыт} = 2 \cdot (25 + 18) = 2 \cdot 43 = 86 \, (\text{см})\).

То есть: \(72 < 2 \cdot (x + y) < 86\).

\(S_{c \, недост} = 20 \cdot 16 = 320 \, (\text{см}^2)\).

\(S_{c \, избыт} = 25 \cdot 18 = 450 \, (\text{см}^2)\).

То есть: \(320 < xy < 450\).

а) Рассмотрим сначала условие, в котором переменные \(x\) и \(y\) ограничены интервалами \(7 < x < 8\) и \(3 < y < 4\) соответственно. Для начала вычислим периметры прямоугольников с минимальными и максимальными значениями сторон, так как периметр \(P\) прямоугольника равен \(2 \cdot (x + y)\). Минимальный периметр получается при минимальных значениях \(x\) и \(y\), то есть \(2 \cdot (7 + 3) = 20\), а максимальный — при максимальных значениях \(2 \cdot (8 + 4) = 24\). Таким образом, периметр изменяется в пределах \(20 < 2 \cdot (x + y) < 24\).

Далее вычислим площади прямоугольников с минимальными и максимальными значениями сторон. Площадь \(S\) равна произведению сторон \(x \cdot y\). Минимальная площадь будет при минимальных значениях \(x\) и \(y\), то есть \(7 \cdot 3 = 21\), а максимальная — при максимальных \(8 \cdot 4 = 32\). Следовательно, площадь ограничена неравенством \(21 < xy < 32\). Эти расчёты позволяют понять, как границы переменных \(x\) и \(y\) влияют на периметр и площадь, и дают четкие числовые рамки для этих величин.

б) В случае, когда \(x\) и \(y\) лежат в диапазонах \(20 < x < 25\) и \(16 < y < 18\) соответственно, аналогично вычисляем периметры и площади. Периметр минимален при минимальных значениях сторон: \(2 \cdot (20 + 16) = 72\), и максимален при максимальных значениях: \(2 \cdot (25 + 18) = 86\). Значит, периметр находится в интервале \(72 < 2 \cdot (x + y) < 86\).

Для площади минимальное значение равно произведению минимальных сторон \(20 \cdot 16 = 320\), а максимальное — произведению максимальных сторон \(25 \cdot 18 = 450\). Таким образом, площадь ограничена неравенством \(320 < xy < 450\). Эти вычисления показывают, как изменяются геометрические параметры прямоугольника при варьировании его сторон в заданных пределах, и дают точные числовые границы для периметра и площади.