ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 186 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Кодовый замок имеет шесть кнопок. Чтобы его открыть, нужно нажать кнопки в определённой последовательности (набрать код). Сколько существует вариантов кода для этого замка?

Первой можно нажать любую кнопку из шести — \(6\) вариантов;
второй — любую кнопку из пяти оставшихся — \(5\) вариантов;
третьей — любую кнопку из четырёх оставшихся — \(4\) варианта;
четвёртой — любую кнопку из трёх оставшихся — \(3\) варианта;
пятой — любую кнопку из двух оставшихся — \(2\) варианта;
шестой — последнюю оставшуюся кнопку — \(1\) вариант.

Итого, кодов для этого замка существует:
\(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720\) вариантов.

Ответ: 720 вариантов.

Первой можно нажать любую кнопку из шести, так как все шесть кнопок доступны и не заняты. Это означает, что количество вариантов выбора первой кнопки равно количеству всех кнопок, то есть \(6\). Здесь мы просто считаем, сколько разных вариантов может быть для первого нажатия, не ограничиваясь ничем.

После того как первая кнопка нажата, остаётся пять кнопок, которые ещё не были выбраны. Для второго нажатия можно выбрать любую из этих пяти оставшихся кнопок. Значит, количество вариантов для второго нажатия равно \(5\). Важно понимать, что выбор второй кнопки уже зависит от того, какая кнопка была выбрана первой, поэтому количество вариантов уменьшилось на один.

Третьей можно нажать любую кнопку из четырёх оставшихся, поскольку две уже выбраны. Следовательно, вариантов для третьего нажатия — \(4\). Аналогично, для четвёртого нажатия остаётся три кнопки, для пятого — две, и для шестого — одна последняя кнопка. Таким образом, количество вариантов для четвёртого, пятого и шестого нажатий равно соответственно \(3\), \(2\) и \(1\).

Общее количество вариантов кода получается произведением всех вариантов выбора на каждом шаге. Это связано с правилом умножения в комбинаторике: если есть несколько последовательных действий, количество способов выполнить все действия равно произведению количества способов каждого из них. Поэтому общее число вариантов кода равно \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\).

Вычисляя произведение, получаем \(6 \cdot 5 = 30\), затем \(30 \cdot 4 = 120\), \(120 \cdot 3 = 360\), \(360 \cdot 2 = 720\), и, наконец, \(720 \cdot 1 = 720\). Это число совпадает с факториалом шести, который обозначается как \(6!\) и равен количеству всех возможных перестановок шести элементов.

Таким образом, общее количество различных кодов, которые можно составить из шести кнопок, равно \(720\). Ответ: 720 вариантов.