ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 17 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Проверьте, справедливы ли равенства:
\(1^3 + 2^3 = (1 + 2)^2\);
\(1^3 + 2^3 + 3^3 = (1 + 2 + 3)^2\);
\(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = (1 + 2 + 3 + 4)^2\).
Попробуйте рассказать, какова в этих равенствах зависимость между квадратами и кубами чисел. Проверьте, выполняется ли это свойство для пяти, шести чисел.

1) \(1^3 + 2^3 = (1 + 2)^2\)
\(1 + 8 = 3^2\)
\(9 = 9 \to\) справедливо.

2) \(1^3 + 2^3 + 3^3 = (1 + 2 + 3)^2\)
\(1 + 8 + 27 = 6^2\)
\(36 = 36 \to\) справедливо.

3) \(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = (1 + 2 + 3 + 4)^2\)
\(1 + 8 + 27 + 64 = 10^2\)
\(100 = 100 \to\) справедливо.

Зависимость:
Сумма кубов первых \(n\) натуральных чисел равна квадрату суммы этих же чисел.

Проверим:
\(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)^2\)
\(1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 15^2\)
\(225 = 225 \to\) справедливо.

\(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)^2\)
\(1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 = 21^2\)
\(441 = 441 \to\) справедливо.

1) Рассмотрим равенство \(1^3 + 2^3 = (1 + 2)^2\). Слева записана сумма кубов первых двух натуральных чисел: \(1^3 = 1\) и \(2^3 = 8\). Складывая их, получаем \(1 + 8 = 9\). Справа стоит квадрат суммы тех же чисел: \(1 + 2 = 3\), и квадрат этого числа равен \(3^2 = 9\). Таким образом, левая и правая части равны, что доказывает справедливость данного равенства. Это простейший пример, иллюстрирующий связь суммы кубов и квадрата суммы.

Вообще, данное равенство показывает, что сумма кубов первых двух чисел равна квадрату их суммы. Это не случайность, а часть более общей закономерности, которая будет подтверждена в следующих пунктах. Такой тип равенств важен для понимания свойств натуральных чисел и их степеней.

2) Теперь проверим равенство \(1^3 + 2^3 + 3^3 = (1 + 2 + 3)^2\). Слева суммируем кубы чисел: \(1^3 = 1\), \(2^3 = 8\), \(3^3 = 27\), итого \(1 + 8 + 27 = 36\). Справа считаем сумму чисел: \(1 + 2 + 3 = 6\), и возводим в квадрат: \(6^2 = 36\). Получили равенство \(36 = 36\), что подтверждает справедливость формулы для трех первых чисел.

Этот пример расширяет предыдущий, показывая, что закономерность сохраняется при увеличении количества слагаемых. Сумма кубов первых трех чисел равна квадрату суммы этих чисел. Это не случайное совпадение, а часть более широкой формулы, которая описывает зависимость между суммой кубов и квадратом суммы первых \(n\) чисел.

3) Рассмотрим теперь \(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = (1 + 2 + 3 + 4)^2\). Считаем сумму кубов: \(1 + 8 + 27 + 64 = 100\). Сумма чисел: \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\), квадрат суммы \(10^2 = 100\). Левая и правая части равны, значит равенство верно и для четырех чисел.

Это подтверждает, что сумма кубов первых \(n\) натуральных чисел равна квадрату суммы этих чисел для \(n=4\). Такая закономерность важна для понимания алгебраических свойств чисел и используется в различных задачах теории чисел и комбинаторики.

Зависимость: сумма кубов первых \(n\) натуральных чисел равна квадрату суммы этих чисел. Формально это можно записать как
\((1^3 + 2^3 + \ldots + n^3) = (1 + 2 + \ldots + n)^2\).

Проверим это утверждение для большего количества чисел:

\(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)^2\). Слева сумма кубов: \(1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225\). Справа сумма чисел: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\), квадрат суммы \(15^2 = 225\). Равенство справедливо.

Для шести чисел:
\(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)^2\). Сумма кубов: \(1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 = 441\). Сумма чисел: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\), квадрат суммы \(21^2 = 441\). Равенство также верно.

Таким образом, для любого натурального числа \(n\) сумма кубов первых \(n\) чисел равна квадрату суммы этих чисел, что является важной и красивой формулой в арифметике.