ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 117 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Поставьте вместо звёздочек знаки < или > так, чтобы получилось верное неравенство:

а) \(\frac{5}{9} * \frac{8}{9}\);

б) \(\frac{14}{105} * \frac{13}{105}\);

в) \(0 * \frac{14}{15}\);

г) \(67\,430\,087 * 67\,430\,093\).

a) \( \frac{5}{9} < \frac{8}{9} \) — верно, так как 5 меньше 8.

b) \( \frac{14}{105} > \frac{13}{105} \) — верно, так как 14 больше 13.

в) \( 0 < \frac{14}{15} \) — верно, так как дробь положительна и больше нуля.

г) \( 67\,430\,087 < 67\,430\,093 \) — верно, так как число 87 меньше 93.

а) Выражение \( \frac{5}{9} < \frac{8}{9} \) основано на сравнении двух дробей с одинаковым знаменателем. Поскольку знаменатель у обеих дробей одинаковый, сравнение целых частей происходит по числителям. В данном случае 5 меньше 8, следовательно, дробь с числителем 5 меньше дроби с числителем 8. Это подтверждает, что \( \frac{5}{9} \) действительно меньше \( \frac{8}{9} \). Такое сравнение удобно и быстро, так как достаточно сравнить числители, если знаменатели равны, что и произошло в данном случае.

Далее, важно понять, что в дробях с одинаковым знаменателем, знак сравнения между ними совпадает со знаком сравнения их числителей. Поэтому, при сравнении дробей с одинаковыми знаменателями, мы можем просто сравнить числители. В этом случае, поскольку 5 меньше 8, то и вся дробь \( \frac{5}{9} \) меньше \( \frac{8}{9} \). Это свойство широко используется при сравнении дробей и позволяет быстро определить их относительный размер без необходимости приведения к общему знаменателю или вычисления десятичных значений. Таким образом, сравнение дробей с одинаковым знаменателем — это один из самых простых и быстрых методов.

б) В этом пункте сравниваются две дроби с разными знаменателями: \( \frac{14}{105} \) и \( \frac{13}{105} \). В первую очередь, стоит заметить, что у обеих дробей одинаковый знаменатель, что значительно облегчает сравнение. Так как знаменатель одинаковый, то достаточно сравнить числители. Число 14 больше 13, следовательно, дробь с числителем 14 больше, чем дробь с числителем 13. Поэтому, выражение \( \frac{14}{105} > \frac{13}{105} \) истинно.

Это свойство — сравнение дробей с одинаковым знаменателем — очень важно в математике, поскольку оно позволяет быстро и без ошибок определить, какая дробь больше. В данном случае, поскольку числитель 14 больше 13, дробь \( \frac{14}{105} \) превосходит по величине дробь \( \frac{13}{105} \). Также стоит отметить, что дроби с одинаковым знаменателем можно сравнивать, не приводя их к общему знаменателю или не вычисляя десятичные значения, что значительно ускоряет и упрощает процесс сравнения. В итоге, для таких случаев важно помнить, что сравнение основывается исключительно на числителях.

в) В этом случае сравниваются число 0 и дробь \( \frac{14}{15} \). Здесь важно понять, что 0 — это нулевое число, которое равно ни положительным, ни отрицательным числам, и оно меньше любого положительного числа. Так как \( \frac{14}{15} \) — это дробь с положительным числителем и положительным знаменателем, она обязательно больше нуля. Поэтому, выражение \( 0 < \frac{14}{15} \) является истинным. Важным аспектом является то, что дробь с положительным числителем и знаменателем всегда положительна, а ноль — это минимальное число, и оно меньше любой положительной дроби.

Это правило широко используется при сравнении чисел и дробей, поскольку оно позволяет быстро определить, что ноль меньше любой положительной дроби. В случае с дробью \( \frac{14}{15} \), числитель 14 и знаменатель 15 — оба положительные, значит, дробь положительна и больше нуля. Поэтому, в сравнении нуля и любой положительной дроби, ноль всегда будет меньше. Это свойство помогает при анализе числовых выражений и в решении различных задач, связанных с сравнением чисел.

г) В этом пункте сравниваются два очень больших числа: 67430087 и 67430093. Оба числа имеют одинаковую длину и начинаются с одних и тех же цифр. Чтобы определить, какое из них больше, достаточно сравнить последние цифры, поскольку первые совпадают. Число 87 в конце первого числа меньше 93 в конце второго. Следовательно, первое число меньше второго. Это сравнение основано на стандартных правилах сравнения целых чисел, где при одинаковой длине и одинаковых начальных цифрах, решающую роль играют последние цифры.

Данное сравнение показывает, что даже очень большие числа можно сравнить, не выполняя сложных вычислений, а просто анализируя их цифры с левой стороны. В случае с числами, у которых одинаковое количество цифр, достаточно сравнить их цифры по порядку, начиная с самой левой. В этом случае, поскольку первые шесть цифр совпадают, сравнение сводится к сравнению последних двух цифр. Поскольку 87 меньше 93, то и все число 67430087 меньше 67430093. Это свойство сравнения чисел важно при работе с большими числами и помогает быстро определить их относительный порядок.