ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 1020 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Как формулируется:

а) свойство площадей равных фигур;

б) свойство площадей фигуры и её частей;

в) свойство объёмов равных фигур;

г) свойство объёмов фигуры и её частей?

а) Площади равных фигур равны, то есть если фигуры равны, то их площади \( S_1 = S_2 \).

б) Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей: \( S = S_1 + S_2 + \ldots + S_n \).

в) Объёмы равных фигур равны, то есть если фигуры равны, то их объёмы \( V_1 = V_2 \).

г) Объём всей фигуры равен сумме объёмов её частей: \( V = V_1 + V_2 + \ldots + V_n \).

а) Площади равных фигур равны. Это утверждение означает, что если две фигуры считаются равными, то их площади совпадают. Равенство фигур в геометрии подразумевает, что одну фигуру можно наложить на другую так, чтобы они полностью совпали по форме и размеру. В таком случае площадь, которая измеряет количество двумерного пространства, занимаемого фигурой, должна быть одинаковой для обеих фигур. Таким образом, равенство фигур напрямую влечёт равенство их площадей, поскольку площадь — это количественная характеристика, зависящая только от размеров и формы фигуры.

Площадь фигуры определяется интегралом или суммой элементарных частей, которые составляют фигуру. Если фигуры равны, то каждая точка одной фигуры соответствует точке другой, и, соответственно, интеграл по площади будет одинаковым. Это фундаментальный принцип, на котором строятся многие геометрические доказательства и вычисления, связанные с площадями.

б) Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей. Это свойство связано с аддитивностью площади, то есть с тем, что площадь фигуры, разбитой на несколько непересекающихся частей, равна сумме площадей этих частей. Если фигуру \(F\) разделить на части \(F_1, F_2, \ldots, F_n\), то площадь фигуры \(S(F)\) выражается как сумма площадей частей: \(S(F) = S(F_1) + S(F_2) + \ldots + S(F_n)\).

Данное свойство позволяет вычислять площадь сложных фигур, разбивая их на более простые части, площади которых легче определить. Это также отражает свойство меры в математическом анализе, где мера множества (в данном случае площадь) аддитивна по разбиению множества на непересекающиеся подмножества. Важно, что части не должны пересекаться по площади, чтобы сумма была точной.

в) Объёмы равных фигур равны. Аналогично первому пункту, если две трёхмерные фигуры считаются равными, то их объёмы совпадают. Равенство фигур в пространстве означает возможность наложения одной фигуры на другую с полным совпадением по форме и размеру. Объём — это количественная характеристика трёхмерного пространства, занимаемого фигурой, и если фигуры равны, то и объёмы должны быть одинаковыми.

Объём фигуры можно представить как интеграл по объёму или сумму элементарных объёмных элементов. При равенстве фигур соответствующие объёмные элементы совпадают, что гарантирует равенство интегралов объёма. Это важное свойство используется в стереометрии и при вычислении объёмов сложных тел через разбиение на простые части.

г) Объём всей фигуры равен сумме объёмов её частей. Это свойство аналогично аддитивности площади, но теперь применяется к объёму трёхмерной фигуры. Если фигуру \(V\) разбить на непересекающиеся части \(V_1, V_2, \ldots, V_n\), то объём всей фигуры равен сумме объёмов этих частей: \(Vol(V) = Vol(V_1) + Vol(V_2) + \ldots + Vol(V_n)\).

Это свойство позволяет вычислять объёмы сложных тел, разбивая их на более простые фигуры, объёмы которых известны или легко вычисляются. Аддитивность объёма является основой для методов интегрального исчисления в трёхмерном пространстве и используется в инженерии, физике и других науках для точного определения объёмов. Важным условием является отсутствие пересечений частей по объёму, чтобы сумма была корректной.