ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Задания для самопроверки Параграф 4 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

1. Два пешехода вышли одновременно в одном направлении из одного пункта. Какой формулой можно выразить расстояние \( s \) между ними через \( t \) ч, если скорость одного из них 3 км/ч, а другого — 5 км/ч?
а) \( s = 2t \);
б) \( s = 8t \);
в) \( s = 3t — 5 \);
г) \( s = 5t — 3 \).

2. Укажите пары равных фигур.
а) \( B = E \);
б) \( D = C \);
в) \( A = E \);
г) \( A = B \).

3. Считая длину одной клетки равной 1 см, найдите площадь и периметр многоугольника, представленного на рисунке.
а) \( S = 14 \text{ см}^2, P = 9 \text{ см} \);
б) \( S = 9 \text{ см}, P = 14 \text{ см}^2 \);
в) \( S = 14 \text{ см}, P = 9 \text{ см}^2 \);
г) \( S = 9 \text{ см}^2, P = 14 \text{ см} \).

4. Укажите номера верных равенств.
1) \( 5 \text{ га } 8 \text{ а} = 50\,800 \text{ м}^2 \);
2) \( 5 \text{ га } 8 \text{ а} = 5800 \text{ м}^2 \);
3) \( 570 \text{ а} = 5 \text{ га } 70 \text{ а} \);
4) \( 23\,400 \text{ м}^2 = 23 \text{ га } 4 \text{ а} \).

5. Укажите номера неверных равенств.
1) \( 4 \text{ м}^3 35 \text{ дм}^3 = 4035 \text{ дм}^3 \);
2) \( 4 \text{ м}^3 35 \text{ дм}^3 = 435 \text{ дм}^3 \);
3) \( 4 \text{ м}^3 35 \text{ дм}^3 = 75 \text{ дм}^3 \);
4) \( 4 \text{ м}^3 35 \text{ дм}^3 = 4035 \text{ л} \).

6. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 5 см, 7 см и 4 см.

7. Найдите объём куба, длина ребра которого равна 3 дм.

8. Считая длину одной клетки равной 1 см, найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке.

9. Установите соответствие между названием геометрической величины и формулой, которая её задаёт.

10. Длина аквариума равна 60 см, ширина 40 см, высота 45 см. Укажите, сколько литров воды надо налить в этот аквариум, чтобы уровень воды в нём был ниже верхнего края на 5 см.

№ 1.
1) Скорость удаления пешеходов равна \(5 — 3 = 2\) км/ч.
2) Через \(t\) часов расстояние между ними будет \(2t\) км, то есть \(s = 2t\).
Ответ: а).

№ 2.
Равные фигуры совпадут при наложении. Значит, \(A = E\) и \(C = D\).
Ответ: б) и в).

№ 3.
1) Мысленно дорисуем многоугольник до прямоугольника со сторонами 3 см и 4 см; из площади прямоугольника вычтем площадь прямоугольника со сторонами 1 см и 2 см и площадь квадрата со стороной 1 см:
\(S_{\text{многоуг.}} = 3 \cdot 4 — (1 \cdot 2 + 1 \cdot 1) = 12 — 3 = 9\) (см²).
2) Периметр многоугольника равен:
\(P_{\text{многоуг.}} = 3 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 = 14\) (см).
Ответ: г).

№ 4.
1) \(5 \text{ га } 8 \text{ а} = 50\,000 \text{ м}^2 + 800 \text{ м}^2 = 50\,800 \text{ м}^2\) — верно.
2) \(5 \text{ га } 8 \text{ а} = 5800 \text{ м}^2\) — неверно.
3) \(570 \text{ а} = 5 \text{ га } 70 \text{ а}\) — верно.
4) \(23\,400 \text{ м}^2 = 23 \text{ га } 4 \text{ а}\) — неверно, так как:
\(23\,400 \text{ м}^2 = 234 \text{ а} = 2 \text{ га } 34 \text{ а}\).
Ответ: 1) и 3).

№ 5.
\(4 \text{ м}^3 35 \text{ дм}^3 = 4000 \text{ дм}^3 + 35 \text{ дм}^3 = 4035 \text{ дм}^3 = 4035 \text{ л}\).
Значит, равенства 2) и 3) неверны.
Ответ: 2) и 3).

№ 6.
Объем прямоугольного параллелепипеда:
\( V = 5 \cdot 7 \cdot 4 = 7 \cdot (5 \cdot 4) = 7 \cdot 20 = 140 \, (\text{см}^3) \).
Ответ: 140 см³.

№ 7.
Объем куба:
\( V = 3^3 = 27 \, (\text{дм}^3) \).
Ответ: 27 дм³.

№ 8.
Если выпуклый полукруг «вставить» в вырезанный полукруг, получится прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см.
Площадь фигуры:
\( S = 2 \cdot 3 = 6 \, (\text{см}^2) \).
Ответ: 6 см².

№ 9.
А. Объем параллелепипеда \(\iff\) 3) \( V = abc \)
Б. Объем куба \(\iff\) 2) \( V = a^3 \)
В. Площадь квадрата \(\iff\) 4) \( S = a^2 \)
Г. Площадь поверхности куба \(\iff\) 1) \( S = 6a^2 \)
Ответ: А \(\iff\) 3; Б \(\iff\) 2; В \(\iff\) 4; Г \(\iff\) 1.

№ 10.
1) Уровень воды в аквариуме:
\( 45 — 5 = 40 \, (\text{см}) \).
2) Объем воды:
\( 60 \cdot 40 \cdot 40 = 2400 \cdot 40 = 96000 \, (\text{см}^3) = 96 \, (\text{л}) \).
Ответ: 96 л.

№ 1. а) Скорость удаления пешеходов определяется как разность их скоростей, так как они движутся в противоположных направлениях. Если первый пешеход движется со скоростью 5 км/ч, а второй — 3 км/ч, то скорость удаления равна \(5 — 3 = 2\) км/ч. Это означает, что расстояние между ними увеличивается на 2 километра каждый час.

Через время \(t\) часов расстояние между пешеходами будет равно произведению скорости удаления на время, то есть \(s = 2t\). Таким образом, если прошло \(t\) часов, то расстояние между ними увеличилось на \(2t\) километров. Это простая формула для расчёта расстояния при равномерном движении с постоянной скоростью.

Ответ а) подтверждает правильность вычислений, так как именно этот вариант соответствует верной формуле и логике задачи.

№ 2. б) и в) Равные фигуры совпадают при наложении, что означает, что все соответствующие углы и стороны равны. В данном случае, если фигуры равны, то вершина \(A\) одной фигуры совпадает с вершиной \(E\) другой, а вершина \(C\) совпадает с вершиной \(D\). Это равенство обозначает, что соответствующие элементы фигур идентичны по размеру и положению.

Данное утверждение основано на свойствах равенства фигур в геометрии, где одинаковые фигуры можно совместить наложением без зазоров и перекрытий. Это позволяет утверждать, что \(A = E\) и \(C = D\) — равенства, которые подтверждают совпадение фигур.

Ответы б) и в) указывают на правильное понимание условий задачи и свойства равенства фигур.

№ 3. г) Для нахождения площади многоугольника мысленно дорисуем его до прямоугольника со сторонами 3 см и 4 см. Площадь этого прямоугольника равна произведению сторон: \(3 \cdot 4 = 12\) см². Затем из этой площади вычитаем площадь прямоугольника со сторонами 1 см и 2 см, которая равна \(1 \cdot 2 = 2\) см², а также площадь квадрата со стороной 1 см, равную \(1 \cdot 1 = 1\) см².

Таким образом, площадь многоугольника равна \(12 — (2 + 1) = 12 — 3 = 9\) см². Это позволяет точно определить площадь сложной фигуры через разложение на более простые геометрические фигуры.

Периметр многоугольника находим, суммируя длины всех сторон: \(3 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 = 14\) см. Это сумма всех сторон, которая даёт полное расстояние вокруг фигуры.

Ответ г) соответствует правильным вычислениям площади и периметра.

№ 4. 1) и 3) Перевод единиц площади требует внимательности. В первом случае \(5\) гектаров и \(8\) ар равны \(50\,000\) м² и \(800\) м² соответственно, так как 1 гектар равен \(10\,000\) м², а 1 ар — \(100\) м². Сложив, получаем \(50\,000 + 800 = 50\,800\) м², что верно.

Во втором случае утверждение, что \(5\) га и \(8\) а равны \(5800\) м², неверно, так как это сильно заниженная площадь. В третьем случае \(570\) а действительно равны \(5\) га и \(70\) а, так как \(1\) га = \(100\) а, значит \(5\) га = \(500\) а, и в сумме \(500 + 70 = 570\) а.

Четвёртый случай неверен, потому что \(23\,400\) м² не равны \(23\) га и \(4\) а. Правильный перевод: \(23\,400\) м² = \(234\) а = \(2\) га и \(34\) а, так как \(1\) га = \(10\,000\) м² и \(1\) а = \(100\) м².

Ответы 1) и 3) являются правильными.

№ 5. 2) и 3) Объём в кубических метрах и кубических дециметрах надо переводить корректно. \(4\) м³ равны \(4000\) дм³, так как \(1\) м³ = \(1000\) дм³. Добавляя \(35\) дм³, получаем общий объём \(4000 + 35 = 4035\) дм³, что равно \(4035\) литров, так как \(1\) дм³ = \(1\) л.

Таким образом, равенства 2) и 3), которые, вероятно, содержат ошибки в переводе единиц или вычислениях, являются неверными. Правильные вычисления подтверждают только первый вариант.

Ответ 2) и 3) — неверны.

№6. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трех его измерений: длины, ширины и высоты. В данном случае длина равна 5 см, ширина — 7 см, а высота — 4 см. Формула для объема выглядит так: \( V = a \cdot b \cdot c \), где \(a\), \(b\), и \(c\) — длина, ширина и высота соответственно. Подставляя значения, получаем: \( V = 5 \cdot 7 \cdot 4 \).

Для удобства вычисления можно сначала перемножить два числа, например, длину и высоту: \(5 \cdot 4 = 20\). Это упрощает вычисление, так как теперь объем равен произведению \(7\) на \(20\), то есть \( V = 7 \cdot 20 \). Такой подход помогает избежать ошибок и быстрее получить результат, особенно при больших числах или в устных расчетах.

Умножая \(7\) на \(20\), получаем \(140\). Это и есть объем прямоугольного параллелепипеда в кубических сантиметрах, так как все размеры заданы в сантиметрах. Следовательно, итоговый ответ: \( V = 140 \, \text{см}^3 \). Таким образом, объем тела равен 140 кубическим сантиметрам, что соответствует количеству пространства, занимаемого этим параллелепипедом.

№7. Объем куба вычисляется по формуле \( V = a^3 \), где \( a \) — длина ребра куба. В данном случае длина ребра равна 3 дм, поэтому подставляем это значение в формулу. Возведение числа 3 в третью степень означает умножение 3 на само себя три раза: \( 3 \times 3 \times 3 \). Это действие позволяет найти объем фигуры, так как куб — это трёхмерный объект, и объем равен произведению всех трех измерений, которые в кубе равны между собой.

Далее вычисляем \( 3^3 = 27 \). Это значит, что объем куба составляет 27 кубических дециметров. Единица измерения объема — кубический дециметр (\( \text{дм}^3 \)) — отражает, что мы считаем количество пространства внутри фигуры, измеряя длину, ширину и высоту в дециметрах. Таким образом, результат показывает, сколько таких маленьких кубиков размером 1 дм на 1 дм на 1 дм поместится внутри данного куба.

Итоговый ответ записываем как \( V = 27 \, (\text{дм}^3) \). Это означает, что объем куба равен 27 кубическим дециметрам, что является точным значением объема для куба с ребром длиной 3 дм. Такой подход к расчету объема помогает понять, как связаны геометрические размеры фигуры и занимаемое ею пространство.

№ 8. В условии говорится, что если выпуклый полукруг поместить в вырезанный из него полукруг, то получится фигура в виде прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см. Это значит, что площадь сложной фигуры можно определить через площадь этого прямоугольника, так как полукруги взаимно компенсируют друг друга, оставляя прямоугольник как итоговую форму. Таким образом, для нахождения площади фигуры достаточно вычислить площадь прямоугольника с заданными размерами.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле \( S = a \cdot b \), где \( a \) и \( b \) — длины сторон. В нашем случае стороны равны 2 см и 3 см, поэтому подставляем эти значения в формулу: \( S = 2 \cdot 3 \). Умножение 2 на 3 дает 6, что означает, что площадь прямоугольника равна 6 квадратным сантиметрам. Единица измерения площади — квадратный сантиметр (\( \text{см}^2 \)) — показывает, сколько квадратов со стороной 1 см помещается внутри фигуры.

Таким образом, площадь фигуры, образованной после совмещения выпуклого и вырезанного полукруга, равна \( S = 6 \, (\text{см}^2) \). Это значение отражает количество двухмерного пространства, занимаемого фигурой, и является точным результатом, полученным путем использования стандартной формулы площади прямоугольника. Такой подход упрощает расчет площади сложных фигур за счет свода задачи к известной геометрической форме.

№ 9. А. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле \( V = abc \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — длины трех измерений параллелепипеда. Эта формула отражает, что объем равен произведению длины, ширины и высоты фигуры, так как параллелепипед — это трехмерное тело, ограниченное прямоугольными гранями. Умножение трех измерений позволяет определить, сколько единичных кубов помещается внутри параллелепипеда, что и есть объем.

Б. Объем куба определяется формулой \( V = a^3 \), где \( a \) — длина ребра куба. В кубе все ребра равны, поэтому объем находится путем возведения длины ребра в третью степень. Это значит, что мы умножаем \( a \) на само себя три раза: \( a \times a \times a \). Такой подход учитывает равенство всех сторон куба и позволяет быстро вычислить объем, используя только одну переменную.

В. Площадь квадрата вычисляется по формуле \( S = a^2 \), где \( a \) — длина стороны квадрата. Площадь — это количество пространства, занимаемого фигурой на плоскости, и для квадрата она равна произведению длины стороны на саму себя. Возведение в квадрат показывает, что площадь зависит от двух измерений одинаковой длины, так как квадрат — это четырехугольник с равными сторонами и прямыми углами.

Г. Площадь поверхности куба вычисляется по формуле \( S = 6a^2 \), где \( a \) — длина ребра куба. Куб состоит из шести одинаковых квадратных граней, каждая из которых имеет площадь \( a^2 \). Чтобы найти общую площадь поверхности, нужно умножить площадь одной грани на количество граней, то есть на 6. Это дает суммарную площадь всех шести сторон куба, что и называется площадью поверхности.

Ответ: А \(\iff\) 3; Б \(\iff\) 2; В \(\iff\) 4; Г \(\iff\) 1.

№ 10. 1) В задаче дан исходный уровень воды в аквариуме, равный 45 см, и необходимо определить, сколько воды останется после того, как уровень снизится на 5 см. Для этого вычитаем из начального уровня 45 см величину снижения — 5 см. Получаем разницу: \(45 — 5 = 40\) см. Это означает, что после уменьшения уровень воды в аквариуме составит 40 см. Такой расчет важен, чтобы точно знать текущую высоту слоя воды, с которой будем работать дальше.

Далее стоит понять, что это значение — высота слоя воды, а не общий объем. Для вычисления объема воды в аквариуме нам нужны три измерения: длина, ширина и высота (уровень воды). В условии указано, что длина аквариума равна 60 см, ширина — 40 см, а высота воды теперь — 40 см. Эти параметры позволяют рассчитать объем воды, так как объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты.

2) Чтобы найти объем воды, умножаем три измерения: длину 60 см, ширину 40 см и высоту 40 см. Сначала перемножаем длину и ширину: \(60 \cdot 40 = 2400\) см² — это площадь основания аквариума. Затем умножаем эту площадь на высоту слоя воды: \(2400 \cdot 40 = 96000\) см³. Полученное число — объем воды в кубических сантиметрах. Чтобы перевести кубические сантиметры в литры, нужно помнить, что 1 литр равен 1000 кубических сантиметров. Поэтому делим 96000 на 1000 и получаем \(96\) литров воды.

Таким образом, объем воды, который остался в аквариуме после снижения уровня на 5 см, равен 96 литрам. Этот расчет показывает, как изменение высоты слоя воды влияет на общий объем жидкости в ёмкости, и как важно правильно оперировать единицами измерения при переводе объема из кубических сантиметров в литры. Ответ задачи — 96 л.