ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 831 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Прямоугольный параллелепипед (рис. 88) разделён на две части. Найдите объём и площадь поверхности всего параллелепипеда и обеих его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей? Можно ли это сказать о площадях их поверхностей? Объясните почему.

1) Объем всего параллелепипеда:
\( V = 8 \cdot 10 \cdot 6 = (8 \cdot 6) \cdot 10 = 48 \cdot 10 = 480 \, (\text{см}^3) \).

2) Площадь поверхности всего параллелепипеда:
\( S = 2 \cdot (10 \cdot 6 + 6 \cdot 8 + 10 \cdot 8) = 2 \cdot (60 + 48 + 80) = 2 \cdot 188 = 376 \, (\text{см}^2) \).

3) Объем меньшей части:
\( V_1 = 8 \cdot 3 \cdot 6 = 24 \cdot 6 = 144 \, (\text{см}^3) \).

4) Площадь поверхности меньшей части:
\( S_1 = 2 \cdot (3 \cdot 6 + 6 \cdot 8 + 3 \cdot 8) = 2 \cdot (18 + 48 + 24) = 2 \cdot 90 = 180 \, (\text{см}^2) \).

5) Объем большей части:
\( V_2 = 7 \cdot 6 \cdot 8 = 42 \cdot 8 = 336 \, (\text{см}^3) \).

6) Площадь поверхности большей части:
\( S_2 = 2 \cdot (7 \cdot 6 + 6 \cdot 8 + 7 \cdot 8) = 2 \cdot (42 + 48 + 56) = 2 \cdot 146 = 292 \, (\text{см}^2) \).

7) Сумма объемов частей параллелепипеда:
\( V_1 + V_2 = 144 + 336 = 480 \, (\text{см}^3) = V \).
Объем параллелепипеда равен сумме объемов его частей.

8) Площадь поверхности параллелепипеда не равна сумме площадей его частей, потому что площадь внутренней грани (со сторонами 6 см и 8 см) посчитана два раза при вычислении площади частей, а при вычислении площади поверхности всего параллелепипеда эта внутренняя грань не учитывается.

1) Объем всего параллелепипеда вычисляется как произведение трех его измерений: длины, ширины и высоты. В данном случае это \(8\), \(10\) и \(6\) сантиметров соответственно. Сначала перемножаем \(8\) и \(6\), получая \(48\), затем умножаем результат на \(10\), что дает итоговый объем \(480\) кубических сантиметров. Такой способ вычисления объема прямоугольного параллелепипеда основан на формуле \(V = a \cdot b \cdot c\), где \(a\), \(b\), \(c\) — длины ребер.

Площадь поверхности всего параллелепипеда рассчитывается по формуле \(S = 2 \cdot (ab + bc + ac)\), где \(a\), \(b\), \(c\) — те же измерения. Здесь считаем площади трех пар граней: \(10 \cdot 6 = 60\), \(6 \cdot 8 = 48\), \(10 \cdot 8 = 80\). Складываем их: \(60 + 48 + 80 = 188\), умножаем на \(2\), получая площадь поверхности \(376\) квадратных сантиметров. Это учитывает все шесть граней параллелепипеда.

3) Объем меньшей части параллелепипеда вычисляем так же, умножая ее размеры: \(8\), \(3\) и \(6\). Сначала перемножаем \(8\) и \(3\), получая \(24\), затем умножаем на \(6\), что дает объем \(144\) кубических сантиметров. Этот объем — часть от общего объема, поэтому он меньше исходного.

Площадь поверхности меньшей части определяется по той же формуле, что и для всего параллелепипеда: \(S_1 = 2 \cdot (ab + bc + ac)\), где теперь \(a=3\), \(b=6\), \(c=8\). Считаем площади граней: \(3 \cdot 6 = 18\), \(6 \cdot 8 = 48\), \(3 \cdot 8 = 24\). Складываем: \(18 + 48 + 24 = 90\), умножаем на \(2\), получая \(180\) квадратных сантиметров. Это площадь поверхности меньшего параллелепипеда.

5) Объем большей части вычисляется аналогично: размеры \(7\), \(6\) и \(8\). Перемножаем \(7\) и \(6\), получаем \(42\), умножаем на \(8\), получаем \(336\) кубических сантиметров. Эта часть занимает оставшуюся часть объема.

Площадь поверхности большей части рассчитывается по формуле \(S_2 = 2 \cdot (ab + bc + ac)\), где \(a=7\), \(b=6\), \(c=8\). Вычисляем площади граней: \(7 \cdot 6 = 42\), \(6 \cdot 8 = 48\), \(7 \cdot 8 = 56\). Складываем: \(42 + 48 + 56 = 146\), умножаем на \(2\), получаем \(292\) квадратных сантиметра. Это площадь поверхности большей части параллелепипеда.

7) Суммируем объемы меньшей и большей частей: \(144 + 336 = 480\) кубических сантиметров, что совпадает с объемом всего параллелепипеда. Это подтверждает, что объем параллелепипеда равен сумме объемов его частей, так как они не перекрываются и полностью заполняют исходный объем.

8) Площадь поверхности всего параллелепипеда не равна сумме площадей поверхностей его частей, потому что при вычислении площади частей внутренняя грань, общая для двух частей (со сторонами \(6\) и \(8\) сантиметров), учитывается дважды. При подсчете площади поверхности всего параллелепипеда эта внутренняя грань не появляется в итоговой площади, так как она скрыта внутри фигуры и не является внешней гранью. Поэтому сумма площадей частей больше площади поверхности целого параллелепипеда.