ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 780 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Решите задачу:
1) Три рассказа занимают 34 страницы. Первый занимает 6 страниц, а второй — в 3 раза меньше, чем третий. Сколько страниц занимает второй рассказ?
2) Три озера имеют общую площадь 32 га. Площадь первого озера в 4 раза больше площади второго, а площадь третьего озера 7 га. Найдите площадь первого озера.

1) Пусть второй рассказ занимает \(x\) стр., тогда третий — \(3x\) стр. Тогда \(6+x+3x=34\), откуда \(4x=28\) и \(x=7\). Ответ: 7 стр.

2) Пусть площадь второго озера \(x\) га, тогда площадь первого — \(4x\) га. Тогда \(4x+x+7=32\), откуда \(5x=25\) и \(x=5\). Площадь первого: \(4x=20\) га. Ответ: 20 га.

а) Для начала рассмотрим, что означает данное условие или задачу. В математике и физике часто требуется разложить сложное выражение на более простые части или доказать определённые свойства, используя формулы и теоремы. При этом важно понимать, какие именно операции выполняются и какую роль играет каждый элемент в уравнении или системе. Например, если речь идёт о функции, то нужно проанализировать её поведение, найти производные, определить экстремумы или точки перегиба, а также изучить асимптоты и области определения. Всё это помогает получить полное представление о функции и её графике.

Далее, чтобы более подробно раскрыть суть задачи, необходимо рассмотреть конкретные математические преобразования. Если у нас есть выражение, содержащее степени, корни или дроби, следует применить правила алгебры, такие как правило умножения степеней с одинаковыми основаниями, свойства логарифмов или формулы сокращённого умножения. Например, для степеней справедливо, что \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), а для дробей — правило деления: \(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\). Использование таких правил позволяет упростить выражение и сделать дальнейшие вычисления более удобными.

Кроме того, важно понять контекст задачи и её практическое применение. Часто математические формулы используются для решения инженерных задач, оптимизации процессов или анализа данных. Например, в физике при изучении движения тела под действием силы применяются уравнения Ньютона, которые содержат производные и интегралы. Понимание того, как связаны между собой различные величины и как изменяются во времени, помогает не только решить задачу, но и сделать выводы о реальных процессах. Таким образом, глубокий разбор и подробное объяснение каждого шага решения позволяют не просто получить ответ, а понять всю логику и суть происходящего.

б) При решении задач с использованием формул важно тщательно выполнять все арифметические операции и следить за правильностью записи. Например, если в выражении присутствуют степени, необходимо соблюдать порядок действий и учитывать особенности возведения в степень отрицательных чисел или дробей. Возьмём, к примеру, выражение \( (x^2)^3 \). Здесь по правилу степеней мы должны перемножить показатели степени, получив \( x^{2 \cdot 3} = x^6 \). Такой подход помогает избежать ошибок и упрощает дальнейшие вычисления.

Кроме того, при работе с дробями важно правильно приводить их к общему знаменателю, чтобы можно было складывать или вычитать дробные выражения. Если у нас есть две дроби \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\), то для их сложения необходимо найти общий знаменатель, равный \(bd\), после чего преобразовать каждую дробь: \(\frac{a}{b} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d}\), \(\frac{c}{d} = \frac{c \cdot b}{d \cdot b}\). Тогда сумма будет равна \(\frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}\). Этот метод позволяет объединять дроби и упрощать выражения.

Также при решении уравнений или систем уравнений важно проверять полученные корни или решения, подставляя их обратно в исходные выражения. Это помогает убедиться в правильности результата и исключить посторонние корни, которые могут возникнуть при возведении в степень или других преобразованиях. Например, если решается уравнение \(x^2 = 4\), то корнями будут \(x = 2\) и \(x = -2\), но в некоторых задачах может быть ограничение, исключающее отрицательные значения. Поэтому проверка решений является обязательным этапом.

в) Важной частью математического анализа является понимание свойств функций и их графиков. Например, для функции \(f(x) = ax^2 + bx + c\), которая является квадратной, можно найти вершину параболы, используя формулы для координат вершины: \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), \(y_0 = f(x_0)\). Это позволяет определить точку максимума или минимума функции в зависимости от знака коэффициента \(a\). Анализ таких точек помогает понять, как ведёт себя функция на различных промежутках и где она достигает экстремальных значений.

Кроме того, при исследовании функций важно рассмотреть их производные, которые показывают скорость изменения функции. Первая производная \(f'(x)\) указывает на возрастание или убывание функции, а вторая производная \(f»(x)\) — на её выпуклость или вогнутость. Если \(f'(x) = 0\) и \(f»(x) > 0\), то в точке \(x\) находится минимум функции, а если \(f»(x) < 0\), то максимум. Эти свойства используются для построения графиков и решения прикладных задач, связанных с оптимизацией. Наконец, при работе с функциями и уравнениями важно учитывать область определения, то есть все допустимые значения переменных, при которых функция имеет смысл. Например, для функции \(f(x) = \sqrt{x-1}\) область определения — это все \(x\), для которых подкоренное выражение неотрицательно, то есть \(x \geq 1\). Ограничения области определения влияют на вид графика и множество решений уравнений, поэтому их нельзя игнорировать при анализе задачи.