ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 774 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите площади и периметры частей, на которые разбита фигура, изображённая на рисунке 74. Найдите площадь и периметр всей фигуры. Равен ли периметр фигуры сумме периметров её частей? Объясните получившийся ответ.

Фигура разбита на два прямоугольника и квадрат.

Прямоугольник \(ABCM\): \(P_{ABCM}=2\cdot(4+3)=14\) см, \(S_{ABCM}=4\cdot3=12\) см\(^2\).

Прямоугольник \(MCDE\): \(P_{MCDE}=2\cdot(4+2)=12\) см, \(S_{MCDE}=4\cdot2=8\) см\(^2\).

Квадрат \(KMEF\): \(P_{KMEF}=4\cdot2=8\) см, \(S_{KMEF}=2^2=4\) см\(^2\).

Фигура \(ABDFKM\): \(P_{ABDFKM}=AB+BC+CD+DE+EF+FK+KM+MA=\)
\(=4+3+2+4+2+2+2+3=22\) см, \(S_{ABDFKM}=S_{ABCM}+S_{MCDE}+S_{KMEF}=12+8+4=24\) см\(^2\).

Сумма периметров частей: \(P_{ABCM}+P_{MCDE}+P_{KMEF}=14+12+8=34\) см, значит периметр фигуры меньше суммы периметров её частей, так как внутренние общие стороны учитываются дважды.

Фигура разделена на три простые части: прямоугольник \(ABCM\), прямоугольник \(MCDE\) и квадрат \(KMEF\). Это удобно, потому что для каждой такой фигуры периметр и площадь считаются по стандартным формулам, а затем результаты можно сложить для площади и аккуратно сравнить для периметра.

Для прямоугольника периметр находится как удвоенная сумма его длины и ширины, то есть \(P=2\cdot(a+b)\), а площадь как произведение сторон \(S=a\cdot b\). Для квадрата периметр равен \(P=4\cdot a\), а площадь \(S=a^2\). Далее используем те размеры сторон, которые даны на чертеже (в сантиметрах).

Прямоугольник \(ABCM\) имеет стороны \(4\) см и \(3\) см. Поэтому его периметр \(P_{ABCM}=2\cdot(4+3)=2\cdot7=14\) см. Это означает, что если обойти прямоугольник по контуру, сумма всех его четырёх сторон даст \(14\) см.

Площадь прямоугольника \(ABCM\) равна произведению его сторон: \(S_{ABCM}=4\cdot3=12\) см\(^2\). Площадь показывает, сколько квадратных сантиметров занимает эта часть фигуры внутри.

Прямоугольник \(MCDE\) имеет стороны \(4\) см и \(2\) см. Тогда его периметр \(P_{MCDE}=2\cdot(4+2)=2\cdot6=12\) см. Здесь снова берём сумму двух разных сторон \(4\) и \(2\) и умножаем на \(2\), потому что каждая из них встречается на контуре прямоугольника дважды.

Площадь прямоугольника \(MCDE\) равна \(S_{MCDE}=4\cdot2=8\) см\(^2\). То есть эта часть добавляет к общей площади ещё \(8\) квадратных сантиметров.

Квадрат \(KMEF\) имеет сторону \(2\) см. Поэтому его периметр \(P_{KMEF}=4\cdot2=8\) см: у квадрата все четыре стороны равны, и мы умножаем длину одной стороны на \(4\).

Площадь квадрата \(KMEF\) равна \(S_{KMEF}=2^2=4\) см\(^2\). Запись \(2^2\) означает \(2\cdot2\), то есть внутри квадрата помещается \(4\) единичных квадрата со стороной \(1\) см.

Периметр всей фигуры \(ABDFKM\) считается по её внешнему контуру, поэтому складываются только те отрезки, которые лежат на границе фигуры. По рисунку внешний обход даёт сумму \(P_{ABDFKM}=AB+BC+CD+DE+EF+FK+KM+MA\), то есть берём последовательно все внешние стороны, не включая внутренние линии разбиения.

Подставляя длины, получаем \(P_{ABDFKM}=4+3+2+4+2+2+2+3\). Удобно группировать: \(4+3=7\), \(2+4=6\), \(2+2=4\), \(2+3=5\), тогда \(7+6+4+5=13+9=22\) см. Значит, внешний периметр всей фигуры равен \(22\) см.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей частей, потому что части не перекрываются и вместе полностью заполняют фигуру. Поэтому \(S_{ABDFKM}=S_{ABCM}+S_{MCDE}+S_{KMEF}=12+8+4=24\) см\(^2\).

Если сложить периметры частей, получится \(P_{ABCM}+P_{MCDE}+P_{KMEF}=14+12+8=34\) см. Эта сумма больше внешнего периметра \(22\) см, потому что в периметры отдельных частей входят также внутренние стороны разбиения, которые не принадлежат внешней границе всей фигуры.

Иными словами, отрезки, по которым части соприкасаются друг с другом внутри фигуры, учитываются в сумме \(34\) см лишний раз (обычно даже дважды: как сторона одной части и как сторона другой). Поэтому периметр всей фигуры \(22\) см не равен сумме периметров частей \(34\) см и получается меньше.