ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 770 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Согласны ли вы с утверждением:

а) равные фигуры имеют равные площади;

б) неравные фигуры имеют различные площади;

в) любой квадрат есть прямоугольник;

г) некоторые прямоугольники являются квадратами;

д) если периметры прямоугольников равны, то равны и эти прямоугольники?

а) Верно: равные (совмещаемые) фигуры имеют одинаковую площадь, так как при наложении площади совпадают.

б) Неверно: неравные фигуры могут иметь одну и ту же площадь (например, прямоугольники \(1\times 6\) и \(2\times 3\): площади равны \(6\)).

в) Верно: квадрат — это прямоугольник с равными сторонами, то есть частный случай прямоугольника.

г) Верно: некоторые прямоугольники являются квадратами (те, у которых соседние стороны равны).

д) Верно: равенство периметров не гарантирует равенство прямоугольников (например, \(1\times 5\) и \(2\times 4\): периметры равны \(2(1+5)=2(2+4)=12\), но прямоугольники разные).

а) Верно: равные фигуры (то есть такие, которые можно совместить наложением без растяжения и деформации) совпадают по форме и размерам. При наложении каждой точке одной фигуры соответствует точка другой, а границы полностью совмещаются.

Площадь — это величина, которая не меняется при таком перемещении фигуры на плоскости (повороте, переносе, зеркальном отражении). Поэтому если фигуры равны, то их площади обязательно равны, так как они занимают на плоскости одинаковую часть.

б) Неверно: из того, что фигуры не равны (не совмещаются наложением), не следует, что их площади различны. Неравенство фигур означает различие формы или размеров, но площадь может при этом совпадать.

Пример: прямоугольники со сторонами \(1\) и \(6\), а также \(2\) и \(3\) не равны, потому что наборы длин сторон различаются. Однако их площади равны: \(1\cdot 6=6\) и \(2\cdot 3=6\), значит утверждение «неравные фигуры имеют различные площади» неверно.

в) Верно: прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (по \(90^\circ\)). Квадрат тоже имеет все углы прямые, то есть по этому признаку он удовлетворяет определению прямоугольника.

Отличие квадрата от общего прямоугольника состоит лишь в дополнительном условии равенства всех сторон. Но наличие дополнительного свойства не мешает ему быть прямоугольником, поэтому любой квадрат является прямоугольником.

г) Верно: утверждение «некоторые прямоугольники являются квадратами» означает существование хотя бы одного такого прямоугольника. Достаточно привести пример прямоугольника, у которого соседние стороны равны.

Если у прямоугольника длина равна ширине, то он одновременно имеет прямые углы и равные стороны, значит это квадрат. Например, фигура со сторонами \(4\) и \(4\) является и прямоугольником (все углы прямые), и квадратом (все стороны равны), поэтому утверждение верно.

д) Неверно: равенство периметров прямоугольников не означает, что сами прямоугольники равны. Для прямоугольника с сторонами \(a\) и \(b\) периметр равен \(P=2(a+b)\), то есть зависит только от суммы сторон, а не от каждой стороны отдельно.

Можно подобрать разные пары \(a\) и \(b\), у которых сумма одинакова, а значит и периметры равны, но прямоугольники не равны. Например, прямоугольники \(1\times 5\) и \(2\times 4\): их периметры равны \(2(1+5)=12\) и \(2(2+4)=12\), но стороны различаются, значит наложением их совместить нельзя и они не равны.