ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 693 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Попробуйте найти число, квадрат которого оканчивается цифрой 0; 6; 5; 7.
Какой цифрой может оканчиваться квадрат числа? куб числа?

Квадрат числа, оканчивающегося на 0, оканчивается цифрой 0: \(10^2 = 100\); \(100^2 = 10\,000\) и т. д.

Квадрат чисел, оканчивающихся цифрами 4 и 6, оканчивается цифрой 6:
\(4^2 = 16\); \(14^2 = 196\); \(6^2 = 36\); \(16^2 = 256\) и т. д.

Квадрат числа, оканчивающегося на 5, оканчивается цифрой 5:
\(5^2 = 25\); \(15^2 = 225\); \(25^2 = 625\) и т. д.

Не существует такого квадрата числа, который оканчивается цифрой 7.

Квадрат числа может оканчиваться цифрами: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

Куб числа может оканчиваться любыми цифрами:
\(0^3 = 0\); \(1^3 = 1\); \(2^3 = 8\); \(3^3 = 27\); \(4^3 = 64\); \(5^3 = 125\);
\(6^3 = 216\); \(7^3 = 343\); \(8^3 = 512\); \(9^3 = 729\).

а) Квадрат числа, оканчивающегося на 0, всегда заканчивается на 0. Это связано с тем, что при возведении в квадрат число, оканчивающееся на 0, умножается само на себя, и в результате произведения последняя цифра будет 0, так как 0 умножить на любую цифру даёт 0. Например, \(10^2 = 100\), где последний символ — 0, и \(100^2 = 10\,000\), где также последняя цифра 0. Это правило справедливо для всех чисел, оканчивающихся на 0, так как они кратны 10, и при возведении в квадрат сохраняется кратность 10 во второй степени.

б) Квадраты чисел, оканчивающихся на 4 или 6, всегда заканчиваются на 6. Это объясняется особенностями умножения этих цифр сами на себя. Рассмотрим пример: \(4^2 = 16\), где последняя цифра 6, \(14^2 = 196\), где тоже последняя цифра 6, \(6^2 = 36\), \(16^2 = 256\). При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4 или 6, последний разряд всегда будет 6, потому что 4 умножить на 4 даёт 16, заканчивающееся на 6, и 6 умножить на 6 даёт 36, также заканчивающееся на 6. Это свойство сохраняется независимо от остальных цифр числа.

в) Квадрат числа, оканчивающегося на 5, всегда оканчивается на 5. Это легко проверить на примерах: \(5^2 = 25\), \(15^2 = 225\), \(25^2 = 625\). Последняя цифра квадрата всегда 5, потому что 5 умножить на 5 даёт 25, где последняя цифра — 5. При возведении в квадрат любого числа, оканчивающегося на 5, результат будет иметь последнюю цифру 5. Это связано с тем, что 5 — особая цифра, при возведении в квадрат сохраняющая свой последний разряд.

г) Не существует квадрата числа, который заканчивается цифрой 7. Это можно проверить перебором всех возможных последних цифр чисел от 0 до 9 и вычислением их квадратов. Ни один из них не даёт в результате число, оканчивающееся на 7. Таким образом, цифра 7 не может быть последней цифрой квадрата любого целого числа. Это важное свойство, которое помогает быстро исключать некоторые варианты при решении задач с квадратами.

д) Квадрат числа может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6, 9. Это связано с тем, что при возведении в квадрат числа, последняя цифра которого — от 0 до 9, результат всегда имеет одну из этих цифр на конце. Например, \(0^2 = 0\), \(1^2 = 1\), \(2^2 = 4\), \(3^2 = 9\), \(4^2 = 16\) (последняя цифра 6), \(5^2 = 25\), \(6^2 = 36\), \(7^2 = 49\) (последняя цифра 9), \(8^2 = 64\) (последняя цифра 4), \(9^2 = 81\) (последняя цифра 1). Цифры 2, 3, 7 и 8 не могут быть последними цифрами квадратов.

е) Куб числа может оканчиваться любой цифрой от 0 до 9. В отличие от квадратов, кубы чисел не имеют ограничений на последнюю цифру. Например, \(0^3 = 0\), \(1^3 = 1\), \(2^3 = 8\), \(3^3 = 27\) (последняя цифра 7), \(4^3 = 64\), \(5^3 = 125\), \(6^3 = 216\), \(7^3 = 343\), \(8^3 = 512\), \(9^3 = 729\). Каждый из этих результатов заканчивается на разные цифры, и все цифры от 0 до 9 встречаются как последние цифры кубов. Это объясняется тем, что операция возведения в куб не накладывает таких строгих ограничений на последнюю цифру, как возведение в квадрат.