ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 691 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Изменится ли частное двух чисел, если:
а) делимое увеличить в 2 раза; в 3 раза;
б) делимое и делитель увеличить в одинаковое число раз? Приведите примеры.

а) Если делимое увеличить в 2 раза, то частное увеличится в 2 раза.
Например:
\(6 : 2 = 3;\)
\((6 \cdot 2) : 2 = 6;\)
\(6 : 3 = 2.\)

Если делимое увеличить в 3 раза, то частное увеличится в 3 раза.
Например:
\(6 : 2 = 3;\)
\((6 \cdot 3) : 2 = 18 : 2 = 9;\)
\(9 : 3 = 3.\)

б) Если делимое и делитель увеличить в одинаковое число раз, то частное не изменится.
Например:
\(12 : 3 = 4;\)
\((12 \cdot 2) : (3 \cdot 2) = 24 : 6 = 4.\)

а) Если делимое увеличить в 2 раза, то частное увеличится в 2 раза. Это происходит потому, что делимое — это число, которое делится на делитель, и при увеличении делимого результат деления (частное) пропорционально возрастает. В формуле это выглядит так: если было \( \frac{a}{b} \), то при увеличении \(a\) в 2 раза получаем \( \frac{2a}{b} \). Значение частного увеличивается ровно в 2 раза, так как делитель остался прежним и не влияет на изменение результата. Например, если взять число 6 и разделить его на 2, получаем 3: \( 6 : 2 = 3 \). Если увеличить делимое в 2 раза, то есть умножить 6 на 2, получим 12, и разделим на тот же делитель 2: \( (6 \cdot 2) : 2 = 12 : 2 = 6 \). Частное увеличилось с 3 до 6, то есть в 2 раза.

Если делимое увеличить в 3 раза, то частное увеличится в 3 раза. Это подтверждается тем же принципом — при умножении делимого на число, частное увеличивается пропорционально этому числу, если делитель не меняется. Например, возьмём исходное выражение \( 6 : 2 = 3 \). При увеличении делимого в 3 раза получаем \( (6 \cdot 3) : 2 = 18 : 2 = 9 \). Частное стало равным 9, что в 3 раза больше исходного 3. Таким образом, увеличение делимого напрямую влияет на увеличение частного, пропорционально коэффициенту увеличения делимого.

б) Если одновременно увеличить и делимое, и делитель в одинаковое число раз, частное останется неизменным. Это объясняется тем, что при умножении числителя и знаменателя дроби на одинаковое число значение дроби не меняется. В терминах деления, если у нас есть выражение \( \frac{a}{b} \), и мы умножаем и \(a\), и \(b\) на одно и то же число \(k\), то получаем \( \frac{a \cdot k}{b \cdot k} \), что эквивалентно исходному значению \( \frac{a}{b} \). Пример: \( 12 : 3 = 4 \). Если умножить и 12, и 3 на 2, получим \( (12 \cdot 2) : (3 \cdot 2) = 24 : 6 = 4 \). Частное осталось равным 4, несмотря на увеличение и делимого, и делителя в 2 раза.

Такое свойство деления связано с тем, что множители в числителе и знаменателе сокращаются, не влияя на итоговое значение частного. Это фундаментальное свойство дробей и деления, позволяющее масштабировать и изменять числитель и знаменатель без изменения результата, если изменения происходят одинаково. Поэтому при увеличении делимого и делителя на одинаковое число раз значение частного сохраняется неизменным.