ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 675 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Попробуйте рассказать, что это за свойство. Проверьте, выполняется ли оно для квадратов нескольких следующих чисел.

\(1^2=1;\)
\(2^2=1+3;\)
\(3^2=1+3+5;\)
\(4^2=1+3+5+7;\)
\(5^2=1+3+5+7+9=25;\)
\(6^2=1+3+5+7+9+11=36;\)
\(7^2=1+3+5+7+9+11+13=49\) и т. д.

Сумма первых \(n\) нечётных чисел: \(1+3+\dots+(2n-1)\). Это арифметическая прогрессия, поэтому \(S=\frac{n(1+(2n-1))}{2}=\frac{n\cdot 2n}{2}=n^2\).

Следовательно, квадрат любого натурального числа \(n\) равен сумме \(n\) последовательных нечётных натуральных чисел, начиная с \(1\): \(n^2=1+3+5+\dots+(2n-1)\).

\(1^2=1;\)
\(2^2=1+3;\)
\(3^2=1+3+5;\)
\(4^2=1+3+5+7;\)
\(5^2=1+3+5+7+9=25;\)
\(6^2=1+3+5+7+9+11=36;\)
\(7^2=1+3+5+7+9+11+13=49\) и т. д.

Здесь показано, что каждое следующее число в сумме — очередное нечётное: \(1,3,5,7,\dots\). Это последовательность, где разность между соседними членами равна \(2\), то есть это арифметическая прогрессия: первый член \(a_1=1\), второй \(a_2=3\), третий \(a_3=5\), а общий член можно записать как \(a_k=2k-1\). Поэтому сумма первых \(n\) нечётных чисел имеет вид \(S_n=1+3+5+\dots+(2n-1)\).

Чтобы найти \(S_n\), удобно использовать формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\). Здесь \(a_1=1\), а \(a_n=2n-1\), потому что \(n\)-е нечётное число как раз равно \(2n-1\). Подставляя, получаем \(S_n=\frac{n(1+(2n-1))}{2}\), то есть \(S_n=\frac{n\cdot 2n}{2}=n^2\). Значит, сумма первых \(n\) нечётных натуральных чисел действительно равна квадрату числа \(n\): \(1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2\).

Смысл примеров из начала в том, что они иллюстрируют эту формулу на конкретных значениях \(n\). Например, при \(n=5\) сумма первых пяти нечётных равна \(1+3+5+7+9\), и по формуле это \(5^2\), то есть \(25\); при \(n=6\) сумма \(1+3+5+7+9+11\) равна \(6^2=36\); при \(n=7\) сумма \(1+3+5+7+9+11+13\) равна \(7^2=49\). Поэтому записи вида \(5^2=1+3+5+7+9\), \(6^2=1+3+5+7+9+11\), \(7^2=1+3+5+7+9+11+13\) — это частные случаи общего равенства.

Ещё одно наглядное объяснение связано с тем, как растут квадраты. Разность соседних квадратов равна \( (n+1)^2-n^2=2n+1\), а число \(2n+1\) всегда нечётное. Это означает: чтобы перейти от \(n^2\) к \((n+1)^2\), нужно прибавить очередное нечётное число. Например, от \(3^2=9\) к \(4^2=16\) прибавляется \(7\), а это как раз следующее нечётное после \(5\); от \(4^2=16\) к \(5^2=25\) прибавляется \(9\). Поэтому, начиная с \(1^2=1\) и каждый раз прибавляя следующее нечётное, мы получаем подряд все квадраты, а суммарно за \(n\) шагов выходит сумма \(1+3+5+\dots+(2n-1)\), равная \(n^2\).

Итак, свойство формулируется так: квадрат любого натурального числа \(n\) равен сумме \(n\) последовательных нечётных натуральных чисел, начиная с \(1\), то есть \(n^2=1+3+5+\dots+(2n-1)\). Это согласуется с приведёнными вычислениями и следует из формулы суммы арифметической прогрессии \(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\) при \(a_1=1\) и \(a_n=2n-1\).