ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 669 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите значения: \(2^4; 3^3; 10^5; 11^2; 100^4; 20^6\).

\(2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16;\)
\(3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27;\)
\(10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100\,000;\)
\(1^{12} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 = 1;\) (12 множителей)
\(100^4 = 100 \cdot 100 \cdot 100 \cdot 100 = 100\,000\,000;\)
\(20^6 = 20 \cdot 20 \cdot 20 \cdot 20 \cdot 20 \cdot 20 = 400 \cdot 400 \cdot 400 = 160\,000 \cdot 400 = 64\,000\,000.\)

а) При возведении числа 2 в степень 4 мы умножаем число 2 само на себя четыре раза: \(2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\). Это означает, что мы последовательно перемножаем четыре множителя, каждый из которых равен 2. В результате получаем \(2 \cdot 2 = 4\), затем \(4 \cdot 2 = 8\), и наконец \(8 \cdot 2 = 16\). Таким образом, \(2^4 = 16\).

Этот процесс возведения в степень отражает количество повторных умножений одного и того же числа. Степень показывает, сколько раз число умножается само на себя, что упрощает запись длинных произведений одинаковых множителей.

б) Возведение числа 3 в степень 3 означает умножение числа 3 на само себя три раза: \(3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3\). Сначала перемножаем первые два множителя: \(3 \cdot 3 = 9\), а затем умножаем результат на третий множитель: \(9 \cdot 3 = 27\). Итоговое значение равно 27.

Степень 3 здесь указывает, что число 3 используется трижды в произведении. Это удобно для сокращения записи и понимания количества множителей без необходимости писать их все подробно.

в) Число 10 возводится в пятую степень, что записывается как \(10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\). Здесь мы умножаем число 10 пять раз подряд. Сначала \(10 \cdot 10 = 100\), затем \(100 \cdot 10 = 1000\), \(1000 \cdot 10 = 10\,000\), и наконец \(10\,000 \cdot 10 = 100\,000\). В результате получаем \(10^5 = 100\,000\).

Такое умножение показывает, как быстро растёт число при увеличении степени, особенно для чисел, кратных 10, что удобно для работы с большими числами.

г) Возведение числа 1 в любую степень, например, в двенадцатую, записывается как \(1^{12} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1\) (12 множителей). Поскольку любое число, умноженное на 1, остаётся неизменным, произведение из двенадцати единиц равно 1.

Это свойство единицы как нейтрального элемента умножения показывает, что степень числа 1 всегда равна 1, независимо от количества множителей.

д) Возведение числа 100 в четвёртую степень записывается так: \(100^4 = 100 \cdot 100 \cdot 100 \cdot 100\). Последовательно умножаем: \(100 \cdot 100 = 10\,000\), затем \(10\,000 \cdot 100 = 1\,000\,000\), и в конце \(1\,000\,000 \cdot 100 = 100\,000\,000\). Итог равен \(100^4 = 100\,000\,000\).

Здесь видно, что степень увеличивает число в несколько раз, а при работе с сотнями и тысячами результат растёт очень быстро.

е) Возведение числа 20 в шестую степень записывается как \(20^6 = 20 \cdot 20 \cdot 20 \cdot 20 \cdot 20 \cdot 20\). Чтобы упростить вычисление, можно сгруппировать множители: \(20 \cdot 20 = 400\), затем \(400 \cdot 20 = 8\,000\), но для удобства берём \(20^6 = (20^2)^3 = 400^3\). Теперь вычисляем \(400^3 = 400 \cdot 400 \cdot 400\).

Сначала перемножаем первые два множителя: \(400 \cdot 400 = 160\,000\), затем умножаем на третий: \(160\,000 \cdot 400 = 64\,000\,000\). Итого, \(20^6 = 64\,000\,000\).

Такое разложение с помощью степеней и группировки множителей позволяет упростить сложные вычисления и избежать ошибок.