ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 534 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Какие остатки могут получиться при делении различных чисел на 2; на 7; на 10; на 23; на 200?

Остаток всегда меньше делителя!

При делении на 2 остатки могут быть равны: 0 или 1.
При делении на 7 остатки могут быть равны: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
При делении на 10 остатки могут быть от 0 до 9 включительно.
При делении на 23 остатки могут быть от 0 до 22 включительно.
При делении на 200 остатки могут быть от 0 до 199 включительно.

Остаток при делении — это число, которое остаётся после того, как мы разделили одно число на другое и взяли целую часть частного. Главное правило: остаток всегда меньше делителя, потому что если бы остаток был равен или больше делителя, мы могли бы ещё раз вычесть делитель из остатка. Это противоречит определению остатка. Например, при делении числа \(a\) на число \(b\) остаток \(r\) всегда удовлетворяет условию \(0 \leq r < b\). Это правило помогает понять, какие именно значения может принимать остаток при делении на конкретное число. Если делитель равен \(b\), то возможные остатки — это все целые числа от 0 до \(b-1\) включительно. Это связано с тем, что при делении на \(b\) мы можем получить либо точное деление без остатка (тогда остаток равен 0), либо остаток, который меньше \(b\), но не может быть равен или больше \(b\).

При делении на 2 возможны остатки 0 или 1, так как 2 — это минимальный делитель, отличный от 1. Остаток 0 означает, что число делится на 2 без остатка, то есть оно чётное. Остаток 1 — это показатель того, что число нечётное. Таким образом, множество возможных остатков при делении на 2 — это \( \{0, 1\} \). Это объясняется тем, что при делении на 2 мы можем только либо полностью разделить число на два равных части, либо получить остаток 1, который нельзя разделить дальше на 2 без дробной части. Поэтому именно 0 и 1 — единственные возможные остатки, что важно для определения чётности чисел.

При делении на 7 возможные остатки — это целые числа от 0 до 6 включительно: \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). Здесь 7 — делитель, и остаток не может быть равен 7 или больше, поскольку тогда мы могли бы вычесть 7 ещё раз. Остаток 0 означает, что число кратно 7. Такое множество остатков отражает все возможные варианты, которые могут возникнуть при делении на 7. Если остаток равен 3, например, это значит, что при делении число «недотягивает» до следующего кратного 7 на 3 единицы. Это свойство используется в различных алгоритмах и задачах, связанных с делимостью.

При делении на 10 возможные остатки — числа от 0 до 9 включительно: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\). Это связано с тем, что 10 — основание десятичной системы счисления, и остаток при делении на 10 показывает последнюю цифру числа. Если остаток равен 0, число заканчивается на 0, если 7 — на 7 и так далее. Это свойство широко используется для определения последней цифры числа и проверки его делимости на 10. Остаток не может быть 10 или больше, так как это нарушало бы определение остатка.

При делении на 23 возможные остатки — целые числа от 0 до 22 включительно: \(0, 1, 2, \ldots, 22\). Здесь 23 — делитель, и остаток всегда меньше 23, что соответствует базовому правилу. Это множество отражает все возможные варианты остатков при делении на 23. Остаток 0 означает, что число кратно 23, а любой другой остаток показывает, насколько число отличается от ближайшего кратного 23. Это важно при решении задач, связанных с делимостью и остатками.

При делении на 200 возможные остатки — числа от 0 до 199 включительно: \(0, 1, 2, \ldots, 199\). Делитель 200 означает, что остаток не может быть равен или превышать 200, так как тогда можно было бы вычесть 200 ещё раз. Такое множество остатков охватывает все возможные случаи при делении на 200. Остаток показывает, насколько число «не дотягивает» до ближайшего меньшего кратного 200. Это правило универсально и применяется ко всем целочисленным делениям, позволяя точно определить остаток и свойства чисел относительно делимости.