ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 467 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

При каких значениях m верно равенство 0 * m = 0? Можно ли из этого равенства найти единственное значение m? Можно ли разделить 0 на 0?

Равенство 0 * m = 0 верно при любом значении m, то есть данное уравнение имеет бесконечно много решений. Выражение 0 : 0 не имеет смысла.

1) Свойство нуля при умножении (почему $0\cdot m=0$ при любом $m$).
По определению умножения и дистрибутивности: $(0+0)\cdot m=0\cdot m+0\cdot m$. Но $(0+0)=0$, значит $0\cdot m=0\cdot m+0\cdot m$. Вычтя $0\cdot m$ из обеих частей равенства (разрешённая операция, сохраняющая равносильность), получаем $0=0\cdot m$. Это верно при любом допустимом $m$ (целые, рациональные, вещественные и т.д.). Аналогично доказывается $m\cdot 0=0$.

2) Интерпретация уравнения $0\cdot m=0$.
Уравнение содержит тождественно истинное утверждение: левая часть всегда равна нулю, правая часть — тоже нуль. Переменная $m$ «исчезает» из содержания равенства, оно выполняется для любого $m$ из области допустимых значений.
Множество решений: все $m$ (например, $m\in\mathbb{R}$, если рассматриваем вещественные числа). Говорят: уравнение имеет бесконечно много решений или является тождеством.

3) Контрастные случаи для ориентира.
а) $0\cdot m=b$ при $b\neq 0$. Левая часть равна $0$ при любом $m$, правая — ненуль. Противоречие: решений нет (пустое множество).
б) $a\cdot m=0$ при $a\neq 0$. Тогда единственное решение $m=0$ (делим обе части на $a$ и получаем $m=0$).
Эти три шаблона полезно помнить:

• $0\cdot m=0$ → бесконечно много решений;
• $0\cdot m=b\neq 0$ → нет решений;
• $a\neq 0:\ a\cdot m=0$ → ровно одно решение $m=0$.

4) Почему выражение $0:0$ «не имеет смысла».
Деление $a:b$ (при $b\neq 0$) определяется как число $q$, для которого $b\cdot q=a$, причём это $q$ единственно.
Если попытаться определить $0:0$, мы ищем число $q$, удовлетворяющее $0\cdot q=0$. Но это верно для любого $q$ (см. пункт 1), то есть единственности нет — «ответом» могло бы быть любое число. Следовательно, конкретного значения деления в обычной арифметике не существует: выражение не определено (не имеет смысла как число).

Дополнение: выражение $a:0$ при $a\neq 0$ также не определено (нет такого числа $q$, чтобы $0\cdot q=a$, ведь $0\cdot q=0$ всегда).

5) Замечание о термине «неопределённая форма $0/0$» в пределах.
В математическом анализе запись вида $\frac{0}{0}$ часто встречается как результат предельного перехода и называется неопределённой формой: по одному факту «числитель $\to 0$, знаменатель $\to 0$» нельзя заключить, чему равен предел — он может быть любым числом, нулём, бесконечностью или не существовать вовсе; нужно дополнительное исследование (алгебраические преобразования, правила Лопиталя и т.п.). Но как числовое выражение $0:0$ остаётся неопределённым и не вычисляется.

6) Иллюстрации для закрепления.

• Примеры к $0\cdot m=0$: $0\cdot 5=0$, $0\cdot (-17{,}3)=0$, $0\cdot \pi=0$ — видно, что значение $m$ не влияет на результат.
• Пример к $0:0$: если попытаться приписать $0:0=7$, проверка требует $0\cdot 7=0$ — верно; но то же самое верно и для $0:0=2025$, $0:0=-\sqrt{2}$, и вообще для любого числа. Единственности нет → определения нет.

Вывод.
Равенство $0\cdot m=0$ истинно при любом $m$ (бесконечно много решений; уравнение — тождество). Выражение $0:0$ как результат деления не определено (не имеет смысла в арифметике), а в теории пределов символ $\frac{0}{0}$ — это лишь указание на неопределённую форму, требующую дополнительного анализа.