ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 444 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Придумайте способ, с помощью которого можно быстро и просто вычислить значение выражения:
39 − 37 + 35 − 33 + 31 − 29 + 27 − 25 + … + 11 − 9 + 7 − 5 + 3 − 1.

39 − 37 + 35 − 33 + 31 − 29 + 27 − 25 + … + 11 − 9 + 7 − 5 + 3 − 1 = (39 − 37) + (35 − 31) + … + (3 − 1) = 2 + 2 + … + 2 = 10 * 2 = 20.

1. Идея парного сгруппирования
Последовательность состоит из нечётных чисел, убывающих на $2$, со знаками $+$ и $—$, чередующимися по схеме «большее минус следующее меньшее»: $(39-37)+(35-33)+\dots+(7-5)+(3-1)$. В каждой такой паре стоят два соседних нечётных числа, а их разность всегда равна $2$, потому что для любых соседних нечётных $n$ и $n-2$ справедливо $n-(n-2)=2$.

2. Формализация через общую пару
Обозначим общую пару как $(4k-1)-(4k-3)$. Тогда $(4k-1)-(4k-3)=2$ для любого целого $k$. Наше выражение представляет собой сумму именно таких пар, начиная с $(39-37)$ и заканчивая $(3-1)$.

3. Сколько пар в сумме
От $1$ до $39$ включительно нечётных чисел $\frac{39+1}{2}=20$. В выражении все они присутствуют ровно по одному разу и разбиты на пары, значит пар $\frac{20}{2}=10$.

4. Мгновённый подсчёт суммы
Так как каждая пара даёт $2$, итоговая сумма равна количеству пар, умноженному на $2$:

$$S=10\cdot 2=20.$$

5. Проверка альтернативным способом (разность двух арифметических прогрессий)
Запишем сумму как разность «положительной» и «отрицательной» частей:

$$S=(39+35+31+\dots+3)-(37+33+29+\dots+1).$$

Обе — арифметические прогрессии с шагом $4$ и по $10$ членов. Сумма первой:

$$S_+=\frac{10\cdot(39+3)}{2}=10\cdot 21=210.$$

Сумма второй:

$$S_-=\frac{10\cdot(37+1)}{2}=10\cdot 19=190.$$

Тогда

$$S=S_+-S_-=210-190=20,$$

что совпадает с результатом из п. 4.

Итог

$$39-37+35-33+\dots+3-1=20.$$