ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 417 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

В магазин привезли 5 ящиков с красками. В каждом ящике 144 коробки, а в каждой коробке 12 тюбиков с красками. Сколько тюбиков привезли в магазин? Решите задачу двумя способами.

1 способ.
В 5 ящиках находится 5 * 144 = 720 коробок с красками, а всего в них 720 * 12 = 8640 тюбиков с красками.
2 способ.
В одном ящике находится 144 * 12 = 1728 тюбиков, а в 5 ящиках 1728 * 5 = 8640 таких тюбиков.

1. Формализация условия и единиц
Есть $5$ ящиков. В каждом ящике $144$ коробки, в каждой коробке $12$ тюбиков краски. Искомое общее количество тюбиков — произведение «ящики $\times$ коробки в ящике $\times$ тюбики в коробке»: $5 \times 144 \times 12$. Размерности согласованы: $\text{ящ}\times \frac{\text{кор}}{\text{ящ}} \times \frac{\text{тюб}}{\text{кор}} = \text{тюб}$.

2. Первый способ (сначала находим общее число коробок)
Шаг 1. Сколько всего коробок в $5$ ящиках:

$$5 \times 144 = 5 \times (100+40+4) = 500 + 200 + 20 = 720\ \text{коробок}.$$

Шаг 2. Сколько тюбиков в $720$ коробках по $12$ тюбиков в каждой:

$$720 \times 12 = 720 \times (10+2) = 7200 + 1440 = 8640\ \text{тюбиков}.$$

Итого по первому способу получаем $8640$ тюбиков.

3. Второй способ (сначала находим тюбики в одном ящике)
Шаг 1. Сколько тюбиков в одном ящике:

$$144 \times 12 = 144 \times (10+2) = 1440 + 288 = 1728\ \text{тюбиков в одном ящике}.$$

Промежуточная проверка вычисления $144 \times 12$ через столбик разложения по разрядам:

$$(100+40+4)\times 12 = 100\times 12 + 40\times 12 + 4\times 12 = 1200 + 480 + 48 = 1728.$$

Шаг 2. Сколько тюбиков в $5$ таких ящиках:

$$1728 \times 5 = 5 \times (1000+700+20+8) = 5000 + 3500 + 100 + 40 = 8640\ \text{тюбиков}.$$

Итого по второму способу также получаем $8640$ тюбиков.

4. Почему оба способа эквивалентны (математическое обоснование)
Используются переместительное и сочетательное свойства умножения:

$$5 \times 144 \times 12 = (5 \times 144)\times 12 = 5 \times (144 \times 12).$$

Кроме того, можно разложить $144 = 12 \times 12$, тогда

$$5 \times 144 \times 12 = 5 \times 12 \times 12 \times 12 = 5 \times 1728 = 8640.$$

Любая группировка множителей даёт один и тот же результат.

5. Смысловая и арифметическая проверка
— Оценка порядка величины: $144 \times 10 \times 5 = 7200$ тюбиков — это нижняя грубая оценка, добавляя ещё $144 \times 2 \times 5 = 1440$, получаем $7200+1440=8640$, что совпадает с точным расчётом.
— Обратные проверки по единицам: $8640 \div 5 = 1728$ тюбиков на ящик (совпадает с вычислением выше); $1728 \div 12 = 144$ коробок на ящик — исходное условие восстановлено.
— Разумность: оба независимых пути привели к одному числу.

Итог
Всего $8640$ тюбиков с красками.