ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 339 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Запишите свойство вычитания числа из суммы двумя способами. Проверьте получившиеся числовые равенства, заменив буквы их значениями:
а) а = 98, b = 47 и с = 58;
б) а = 93, b = 97 и с = 95.

Решение а

(a + b) − с = a + (b − с) при с < b, (a + b) − c = (a − c) + b при с < a;
при a = 98, b = 47, с = 58 => (a + b) − c = (98 + 47) − 58 = 145 − 58 = 87; c < a;
(a − c) + b = (98 − 58) + 47 = 40 + 47 = 87.

Решение б

Идея и тождество.
Для любых чисел $a,b,c$ верно тождество раскрытия скобок при вычитании суммы:

$$(a+b)-c=(a+b)+(-c)=a+(b+(-c))=a+(b-c)\mathrm{.}$$

Ассоциативность сложения также даёт

$$(a+b)-c=a+(b+(-c))=(a+(-c))+b=(a-c)+b\mathrm{.}$$

Следовательно, одновременно верны равенства

$$(a+b)-c=a+(b-c)=(a-c)+b\mathrm{.}$$

Условия вида «$c<b$» или «$c<a$» в школьных задачах вводят, чтобы промежуточные разности $b-c$ или $a-c$ были неотрицательными в множестве натуральных чисел; в действительных числах тождество выполняется без этих ограничений.

Решение а

Дано: $a=98,b=47,c=58$. Сравним: $c<b$ — ложно (так как $58>47$), $c<a$ — верно (так как $58<98$). Поэтому естественно сгруппировать как $(a-c)+b$.

Левая часть напрямую (сначала сложение в скобках, затем вычитание):

$$(a+b)-c=(98+47)-58=145-58=87.$$

Перегруппировка по тождеству $(a+b)-c=(a-c)+b$ (вычитаем $c$ из $a$, затем прибавляем $b$):

$$(a-c)+b=(98-58)+47=40+47=87.$$

Проверка альтернативным путём (даже при $c>b$ тождество остаётся верным):

$$a+(b-c)=98+(47-58)=98+(-11)=87.$$

Во всех трёх вычислениях получено одно и то же значение $87$.

Вывод (а): $(a+b)-c=87,(a-c)+b=87$ (и также $a+(b-c)=87$).

Решение б

Дано: $a=93,b=97,c=95$. Сравним: $c<b$ — верно ($95<97$), $c<a$ — ложно ($95>93$). Поэтому естественно сгруппировать как $a+(b-c)$.

Левая часть напрямую:

$$(a+b)-c=(93+97)-95=190-95=95.$$

Перегруппировка по тождеству $(a+b)-c=a+(b-c)$ (сначала разность $b-c$, затем прибавляем к $a$):

$$a+(b-c)=93+(97-95)=93+2=95.$$

Проверка альтернативной перегруппировкой $(a-c)+b$ (хотя здесь $c>a$, в $\mathbb{R}$ это допустимо):

$$(a-c)+b=(93-95)+97=-2+97=95.$$

Во всех трёх вычислениях получено одно и то же значение $95$.

Вывод (б): $(a+b)-c=95,a+(b-c)=95$ (и также $(a-c)+b=95$).