ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Вопрос 17 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Какое число называют четным; нечётным?

Чётное число – это то число, которое делится нацело на 2.
Нечётное число – это число, которое делится на 2 с остатком.

1. Определение чётных чисел:

Чётное число — это целое число, которое делится на 2 нацело, то есть без остатка. Математически это можно выразить следующим образом:

• Если число $x$ является чётным, то существует целое число $k$, которое удовлетворяет следующему равенству:

$$x=2k$$

где $k$ — целое число (то есть $k\in \mathbb{Z}$).

Например:

• $4=2\times 2$ — чётное, потому что оно делится на 2 нацело, остаток равен 0.
• $10=2\times 5$ — чётное, так как оно также делится на 2 нацело.
• $0=2\times 0$ — чётное, поскольку $0$ делится на любое число без остатка.

Примечание: Число 0 является чётным числом, поскольку оно делится на 2 нацело.

2. Признак чётности:

Число $x$ будет чётным, если его последняя цифра (единица в десятичной записи числа) является одной из следующих: $0,2,4,6,8$. Это правило также можно применить для всех целых чисел.

Примеры чётных чисел:

$$-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12,14,\dots$$

Т.е. все эти числа при делении на 2 дают целое число, и остаток от деления равен 0.

3. Определение нечётных чисел:

Нечётное число — это целое число, которое не делится на 2 нацело, а при делении на 2 остаётся остаток. Математически это можно выразить так:

• Если число $x$ является нечётным, то существует целое число $k$, которое удовлетворяет следующему равенству:

$$x=2k+1$$

где $k$ — целое число (то есть $k\in \mathbb{Z}$).

Пример:

• $5=2\times 2+1$ — нечётное, потому что при делении на 2 остаётся остаток 1.
• $13=2\times 6+1$ — нечётное, так как при делении на 2 также остаётся остаток 1.
• $-3=2\times (-2)+1$ — нечётное, так как при делении на 2 остаётся остаток 1.

4. Признак нечётности:

Число $x$ будет нечётным, если его последняя цифра (единица в десятичной записи числа) является одной из следующих: $1,3,5,7,9$. Это правило помогает быстро определить, является ли число нечётным.

Примеры нечётных чисел:

$$-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9,11,13,15,\dots$$

Т.е. все эти числа при делении на 2 дают целое число с остатком 1.

5. Дополнительные замечания:

• Чётность и нечётность для всех целых чисел: Для любого целого числа можно точно определить его чётность или нечётность. Если число делится на 2 нацело — оно чётное, если остаётся остаток — оно нечётное.
• Ноль как особый случай: Ноль всегда чётное число, потому что его деление на 2 даёт результат 0, и остатка нет.

6. Важность чётности и нечётности:

Понимание чётных и нечётных чисел важно для множества математических операций, таких как:

• Применение их в алгебраических выражениях и решении уравнений.
• Оценка свойств чисел в теории чисел.
• Разработка алгоритмов в информатике, где чётные и нечётные числа часто используются для оптимизации вычислений или проверки условий.

Пример: В некоторых алгоритмах сортировки или поиска можно использовать свойство чётности для разделения чисел на две группы с целью уменьшения объёма вычислений, ускоряя процесс работы алгоритма.

7. Резюме:

• Чётное число — это число, которое делится на 2 нацело.
• Нечётное число — это число, которое при делении на 2 даёт остаток 1.
• Признаки чётности: последняя цифра числа для чётных чисел — $0,2,4,6,8$, для нечётных чисел — $1,3,5,7,9$.
• Число 0 является чётным.

Теперь чётность и нечётность чисел должны быть понятны на максимально детализированном уровне.