ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 5.8 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Развивай мышление и воображение. На какое наибольшее число частей можно разделить тремя разрезами (разрез делается от края до края по прямой):
а) блин;
б) торт?

а) на 7 частей;
б) на 8 частей.

а) На какое наибольшее число частей можно разделить блин тремя разрезами?

Что такое «разрез»?
Разрез — это линия, которая проводится от края блина до другого края, то есть разрез идёт по прямой через всю толщу блина. При этом разрез должен быть прямым, от одного края до другого, без прерываний.

Первый разрез
Первым разрезом мы делим блин на 2 части. Всё просто: один разрез делит плоский блин ровно на две части.

Второй разрез
Вторым разрезом можно разделить блин на максимум 4 части, если второй разрез пересекает первый внутри блина и не совпадает с ним (например, под углом).
Почему? Потому что второй разрез может пересечь первую линию, образуя 4 области (секции).

Третий разрез
Третий разрез — самый сложный. Чтобы максимизировать количество частей, нужно, чтобы он пересекался с уже существующими разрезами внутри блина.
При трёх разрезах максимальное число частей рассчитывается по формуле:

$$\text{Максимум частей} = \frac{n(n+1)}{2} + 1$$

где $n$ — число разрезов. При $n=3$:

$$\frac{3 \times 4}{2} + 1 = 6 + 1 = 7.$$

Почему так работает?
Каждый новый разрез, если он пересекает все предыдущие разрезы в разных точках, увеличивает количество частей на количество разрезов, через которые он проходит.

1-й разрез — делит на 2 части (+1 от 1 части)

2-й разрез пересекает 1-й — увеличивает количество частей на 2, всего 4

3-й разрез может пересечь два предыдущих разреза в двух точках — увеличивает части на 3 (число разрезов, которые он пересекает +1), всего 7 частей

Геометрический смысл
Все три разреза должны быть расположены так, чтобы ни один не был параллелен другому, и все пересечения были внутри блина (то есть три точки пересечения).

Итог
Максимальное количество частей, на которые можно разделить блин тремя разрезами — 7 частей.

б) На какое наибольшее число частей можно разделить торт тремя разрезами?

Особенность торта
Торт — трёхмерный объект, обычно цилиндрической формы. Разрезы идут «от края до края», то есть от одной стороны торта через весь объём до противоположной стороны.

Первый разрез
Первый разрез разделяет торт на 2 части, как и блин.

Второй разрез
Если второй разрез сделать перпендикулярным первому и пройти через весь торт, то мы разделим торт на 4 части.

Третий разрез
Третий разрез — самый сложный, он может быть сделан так, чтобы пересечь первые два разреза, но теперь в трёх измерениях.
В трёхмерном пространстве количество частей, на которые можно разделить объект $n$ разрезами (плоскостями), даётся формулой:

$$R_3(n) = \frac{n^3 + 5n + 6}{6}.$$

Подставим $n=3$:

$$R_3(3) = \frac{3^3 + 5 \times 3 + 6}{6} = \frac{27 + 15 + 6}{6} = \frac{48}{6} = 8.$$

Почему так?
Каждая новая плоскость (разрез) может пересечь все предыдущие плоскости и увеличивать количество частей в геометрическом прогрессии, т.к. она делит каждую существующую часть на две.

Итог
Максимальное количество частей, на которые можно разделить торт тремя разрезами, — 8 частей.