ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 5.508 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Сколькими способами можно выбрать трёх участников марафона из 20 человек?

20 ∙ 19 ∙ 18 = 380 ∙ 18 = 6480 (способов) – с повторением участников;

6480 : 6 = 1140 (способов) – без повторения участников.

Ответ: 1140 способов.

Шаг 1. Определение задачи и подхода

• Нужно выбрать группу из трёх человек из 20 участников.
• При выборе участников важен порядок или нет?
• В этой задаче считается, что порядок не важен — просто выбираем 3 участника без учёта порядка. Это задача на сочетания.

Шаг 2. Вычисление количества способов с учётом порядка (перестановки с повторением)

• Для понимания вычислим сначала количество способов выбрать трёх участников, если порядок важен (перестановки без повторений).
• Количество способов выбрать первого участника из 20 — 20.
• Второго участника — 19 (так как первый уже выбран).
• Третьего участника — 18 (первый и второй уже выбраны).
• Перемножаем:
  20 × 19 × 18 = 380 × 18
• Считаем:
  380 × 18 = 6840
• В исходном тексте написано 6480, что, скорее всего, опечатка. Правильный результат: 20 × 19 × 18 = 6840.

Шаг 3. Учитываем, что порядок не важен — делим на число перестановок трёх участников

• Так как порядок участников не важен, нужно исключить повторения, которые отличаются только порядком выбора.
• Количество перестановок из 3 человек: 3! = 3 × 2 × 1 = 6
• Делим общее количество перестановок на 6:
  6840 ÷ 6 = 1140

Шаг 4. Итоговое количество способов выбрать 3 участника без учёта порядка

• Ответ: 1140 способов.

Дополнительное объяснение: формула сочетаний

• Формула для количества сочетаний из n по k:
  C(n, k) = n! / (k! · (n−k)!)
• Для n=20, k=3:
  C(20, 3) = 20! / (3! · 17!)
  Можно упростить:
  = (20 × 19 × 18) / (3 × 2 × 1)
  = 6840 / 6
  = 1140

Итог:

• Сначала рассчитали количество способов с учётом порядка (6840).
• Потом разделили на количество перестановок (6), чтобы учесть, что порядок выбора не важен.
• Получили окончательный ответ — 1140 способов.

Ответ: 1140 способов выбрать трёх участников из 20 без повторения и без учёта порядка.