ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 5.476 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Проверьте равенства:

и т.д. Используя эти равенства, докажите:

Доказательство:

Рассмотрим первое выражение:

$$\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})=\frac{1}{2}\cdot (\frac{5}{15}-\frac{3}{15})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{15}=\frac{1}{15}\text{ — верно.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю $15$:

$$\frac{1}{3}=\frac{5}{15},\frac{1}{5}=\frac{3}{15}\mathrm{.}$$

Выполняем вычитание:

$$\frac{5}{15}-\frac{3}{15}=\frac{2}{15}\mathrm{.}$$

Умножаем на $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{15}=\frac{1}{15}\mathrm{.}$$

Рассмотрим второе выражение:

$$\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{5}-\frac{1}{7})=\frac{1}{2}\cdot (\frac{7}{35}-\frac{5}{35})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{35}=\frac{1}{35}\text{ — верно.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю $35$:

$$\frac{1}{5}=\frac{7}{35},\frac{1}{7}=\frac{5}{35}\mathrm{.}$$

Выполняем вычитание:

$$\frac{7}{35}-\frac{5}{35}=\frac{2}{35}\mathrm{.}$$

Умножаем на $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{35}=\frac{1}{35}\mathrm{.}$$

Рассмотрим третье выражение:

$$\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{7}-\frac{1}{9})=\frac{1}{2}\cdot (\frac{9}{63}-\frac{7}{63})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{63}=\frac{1}{63}\text{ — верно.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю $63$:

$$\frac{1}{7}=\frac{9}{63},\frac{1}{9}=\frac{7}{63}\mathrm{.}$$

Выполняем вычитание:

$$\frac{9}{63}-\frac{7}{63}=\frac{2}{63}\mathrm{.}$$

Умножаем на $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{63}=\frac{1}{63}\mathrm{.}$$

Доказательство:

Мы имеем следующую задачу:

$$\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{5}+\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{7}+\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{11}+\frac{1}{11}\cdot \frac{1}{13}+\frac{1}{13}\cdot \frac{1}{15}=$$

Заменяем выражения на разности дробей:

$$\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{7}-\frac{1}{9})$$

$$+\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{9}-\frac{1}{11})+\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{11}-\frac{1}{13})+\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{13}-\frac{1}{15})=$$

Теперь мы можем объединить все разности в одну:

$$\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{3}-\frac{1}{15})=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{15}=\frac{2}{15}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{2}{15}}}\text{ — окончательный ответ по задаче.}$$