ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 5.431 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Развивай внимание. Запишите дробь, у которой числитель и знаменатель — однозначные числа. Сложите устно знаменатель с числителем и запишите сумму в числителе новой дроби, а числитель предыдущей дроби в знаменателе. Если сумма числителя и знаменателя получится больше 10, то надо вычесть из неё 9 и т. д.
Например, 
Через 3 мин сверьте ответы с товарищем. Выигрывает тот, у кого больше составлено правильных дробей.

Начнём с дроби $\frac{1}{2}$

$$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{4}{3},\frac{7}{4},\frac{2}{9},\frac{2}{2},\frac{4}{4},\frac{6}{6},\frac{1}{7},\frac{8}{6},\frac{5}{5},\frac{2}{7},\frac{9}{9},\frac{7}{7},\frac{5}{5},\frac{3}{3},\frac{8}{8},\frac{2}{2},\frac{1}{1},\dots$$

дальше повторяется.

Начальное условие — дана стартовая дробь:

$$\frac{1}{2}$$Это первая дробь в последовательности.

Переход к следующему элементу — последовательность не формируется по обычному арифметическому или геометрическому правилу. Каждая следующая дробь вычисляется по заранее заданному механизму, который не объяснён явно, но можно его попытаться восстановить по наблюдению.

Первые элементы:

$$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{4}{3},\frac{7}{4},\frac{2}{9},\dots$$Видно, что числитель и знаменатель изменяются по определённому закону — вероятно, числитель увеличивается с шагом 3, а затем возвращается, знаменатель увеличивается, затем убывает — скорее всего, последовательность построена по спиралевидной или отражающейся схеме.

Наблюдение за группами: дроби с равными числителями и знаменателями:

$$\frac{2}{2},\frac{4}{4},\frac{6}{6},\frac{5}{5},\frac{9}{9},\frac{7}{7},\frac{3}{3},\frac{8}{8},\frac{2}{2},\frac{1}{1}$$— указывают на этап завершения некоторого «витка» в последовательности. Эти дроби равны 1.

Цикличность: в конце строки указано, что последовательность повторяется, а значит, после $\frac{1}{1}$ снова будет $\frac{1}{2}$.

Обратное наблюдение: после $\frac{1}{1}$ идёт первая дробь, значит, вся последовательность — конечный цикл длиной 19 членов, который повторяется бесконечно.

Вывод о структуре:

Дроби идут не в порядке возрастания.

Некоторые дроби повторяются (например, $\frac{2}{2},\frac{4}{4},\frac{6}{6},\dots$).

Числители и знаменатели образуют свои подмножества значений.

Общая длина цикла — 19 дробей.

Назначение: вероятно, последовательность используется в визуальных или числовых паттернах, или в учебных задачах на распознавание циклов.

Повторяемость — знание длины цикла (19 дробей) позволяет определить, какая дробь будет стоять на любом месте $n$ по формуле:

$$\text{Найти }n<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>19\text{ и взять соответствующую дробь}$$

Итог: последовательность дробей начинается с $\frac{1}{2}$ и продолжается строго по шаблону из 19 дробей. После последней дроби $\frac{1}{1}$ последовательность начинается заново с $\frac{1}{2}$, и так далее.