ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 5.383 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите количество чётных пятизначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 4, 7, 8, 9? Есть ли среди них числа, кратные пяти; девяти?

Без повторения:

1 цифра – 5 способов (1, 4, 7, 8, 9);
2 цифра – 5 способов;
3 цифра – 4 способа;
Последняя – 3 способа (0, 4, 8);
4 цифра – 2 способа.

5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 2 ∙ 3 = 25 ∙ 4 ∙ 6 = 100 ∙ 6 = 600 (чисел).

Кратные 5 – да, те числа, которые будут оканчиваться на 0;
Кратные 9 – нет, так как сумма цифр 0 + 1 + 4 + 7 + 8 + 9 = 5 + 15 + 9 = 20 + 9 = 29 – не делится на 9.

С повторением:

1 цифра – 5 способов (1, 4, 7, 8, 9);
2 цифра – 6 способов;
3 цифра – 6 способа;
Последняя – 3 способа (0, 4, 8);
4 цифра – 6 способов.

5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 3 ∙ 6 = 30 ∙ 18 ∙ 6 = 180 ∙ 18 = 3240 (чисел).

Кратные 5 – да, те числа, которые будут оканчиваться на 0;
Кратные 9 – да, например, 18 000 или 9 999.

1. Без повторений:

Шаг 1. Определение числа возможных вариантов для каждой цифры:

• Первая цифра: Мы можем выбрать из 5 цифр (1, 4, 7, 8, 9) — 5 способов.
• Вторая цифра: Для второй цифры также есть 5 доступных вариантов, так как мы не имеем ограничений на её выбор. — 5 способов.
• Третья цифра: Для третьей цифры мы можем выбрать 4 оставшиеся цифры, исключая первую и вторую цифры. — 4 способа.
• Последняя цифра: Для последней цифры доступны 3 цифры (0, 4, 8). — 3 способа.
• Четвертая цифра: Для четвертой цифры доступны 2 оставшиеся цифры, так как первая и последняя цифры уже заняты. — 2 способа.

Шаг 2. Умножение количества способов:

Теперь перемножим количество вариантов для каждой цифры:

$$5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 \cdot 4 \cdot 6 = 100 \cdot 6 = 600$$

Таким образом, существует 600 различных чисел без повторений.

Шаг 3. Определение кратности 5 и 9:

• Кратные 5: Число будет кратно 5, если оно заканчивается на 0. В нашем случае последняя цифра может быть 0 (из доступных 3 цифр: 0, 4, 8). Следовательно, среди 600 чисел, те, которые заканчиваются на 0, будут кратными 5.
• Кратные 9: Для того чтобы число было кратно 9, сумма его цифр должна делиться на 9. Сумма всех цифр, которые мы используем (0, 1, 4, 7, 8, 9), составляет 29. Поскольку 29 не делится на 9, то числа с этими цифрами не могут быть кратными 9.

2. С повторениями:

Шаг 1. Определение числа возможных вариантов для каждой цифры:

• Первая цифра: Мы можем выбрать из 5 цифр (1, 4, 7, 8, 9) — 5 способов.
• Вторая цифра: Для второй цифры теперь доступно 6 вариантов (так как цифры могут повторяться) — 6 способов.
• Третья цифра: Для третьей цифры также доступно 6 вариантов — 6 способов.
• Последняя цифра: Для последней цифры доступны 3 цифры (0, 4, 8). — 3 способа.
• Четвертая цифра: Для четвертой цифры доступны 6 вариантов, так как цифры могут повторяться. — 6 способов.

Шаг 2. Умножение количества способов:

Теперь перемножим количество вариантов для каждой цифры:

$$5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 6 = 30 \cdot 18 \cdot 6 = 180 \cdot 18 = 3240$$

Таким образом, существует 3240 различных чисел с повторениями.

Шаг 3. Определение кратности 5 и 9:

• Кратные 5: Число будет кратно 5, если оно заканчивается на 0. В нашем случае последняя цифра может быть 0 (из доступных 3 цифр: 0, 4, 8). Следовательно, среди 3240 чисел, те, которые заканчиваются на 0, будут кратными 5.
• Кратные 9: Для того чтобы число было кратно 9, сумма его цифр должна делиться на 9. Сумма всех цифр, которые мы используем (0, 1, 4, 7, 8, 9), составляет 29. Поскольку 29 не делится на 9, то числа с этими цифрами могут быть кратными 9 только в случае, если правильный набор цифр будет иметь сумму, делящуюся на 9. Например, 18 000 (сумма 1 + 8 + 0 + 0 + 0 = 9) или 9 999 (сумма 9 + 9 + 9 + 9 = 36).

Заключение:

• Без повторений существует 600 чисел.
• С повторениями существует 3240 чисел.
• Кратные 5 — да, те числа, которые заканчиваются на 0.
• Кратные 9 — нет (для чисел без повторений), но да (для чисел с повторениями, если сумма цифр делится на 9, например, 18 000 или 9 999).